La información que el núcleo proporciona sobre un mapa lineal

Question

En un mapa lineal, si conocemos la cartografía de la base, conocemos toda la información sobre el mapa. En cambio, si conocemos la $\ker(f)$ , $X/\ker(f)$ es isomorfo a $\mathrm{img}(f)$ . Me pregunto si el $\ker(f)$ determina toda la estructura de la imagen, es decir, como el mapa en la base, ¿qué tipo de información proporciona el núcleo para el mapa?

Por ejemplo, si $\{e_1,\cdots,e_m\}$ abarcan el espacio del núcleo, entonces podemos extenderlo a la base de todo el espacio $e_1,\cdots,e_m,e_{m+1},\cdots,e_n$ . Entonces, para cualquier $x\in X$ , $f(x)$ es sólo la proyección sobre el espacio abarcado por $\{f(e_{m+1}),\cdots,f(e_n)\}$

Answer 1

Si tomas un subespacio $V$ de una dimensión finita $K$ -espacio vectorial $E$ y se toma una base de $E$ $(e_1,...,e_n)$ tal que $(e_1,...,e_k)$ es una base de $V$ . Identificaré cualquier endomorfismo lineal de $E$ con matrices $M_n(K)$ utilizando la base $(e_1,...,e_n)$ . Ahora bien, si $A\in M_n(K)$ sabemos que podemos descomponer $A$ con respecto a la descomposición :

$$E=V\oplus Vect(e_{k+1},...,e_n) $$

Esto dará :

$$A=\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}\\A_{2,1}& A_{2,2}\end{pmatrix} $$

Ahora el álgebra lineal básica te da $Ker(A)=V\Leftrightarrow A_{1,1}=0$ y $A_{2,1}=0$ y $A_{2,2}\in GL_{n-k}(K)$ . Obsérvese que $A_{2,2}$ es la matriz del isomorfismo entre $E/Ker(f)$ y $Im(f)$ inducido por $A$ .

Por lo tanto, una vez que el núcleo de $A$ se prescribe que sea $V$ sabemos que $A$ se escribirá (en la base buena) :

$$A=\begin{pmatrix}0&A_{2,1}\\0& A_{2,2}\end{pmatrix} \text{ with } A_{2,2}\in GL_{n-k}(K)\text{ and } A_{2,1}\in M_{k,n-k}(K)$$

En particular, aunque prescriba $A_{2,2}$ quedan algunas opciones (para ser exactos, tantas como en $M_{k,n-k}(K)$ ).