Mórfica de la Imagen de una Completa Variedad

Question

Una variedad $X$ se llama separados si $\Delta_X = \{ (x,x) \mid x \in X \} \subset X \times X$ es cerrado en $X \times X$.

Una variedad $X$ se llama completa si está separado y para cualquier otra variedad, $Y$ y cerca de un subconjunto $Z \subset X \times Y$ tenemos que $\pi_Y(Z)$ es cerrado (en este caso $\pi_Y : X \times Y \to Y$ es la proyección canónica).

Yo quiero probar:

Si $X'$ es separado, $f : X \to X'$ es una de morfismos y $X$ es completa variedad, a continuación, $f(X) \subset X'$ es completa.

Sé que una subvariedad cerrada de una completa variedad es completa. También sé que desde $X'$ está separado, a continuación, el gráfico de $\Gamma_f = \{ (x, f(x) ) \mid x \in X \}$ es cerrado en $X \times X'$.

Answer 1

Han demostrado que $f(X)$ es cerrado en $X'$? Si no, hacer esto primero. Ahora usted sabe que $f(X)$ es una variedad (de ser cerrado en una variedad). (Sin esta, la pregunta no acaba de tener sentido; necesitamos knowthat $f(X)$ es una variedad para hablar acerca de ser completa.)

A continuación se muestra que si $X \to Z$ es un surjection de variedades y $X$ es completa, así es $Z$. (Sólo el trabajo directamente con la definición. Esto es, básicamente, un ejercicio simple en la topología, el uso que la preimagen de cerrado en un mapa continuo está cerrado, y el uso que el si $X \to Z$ es surjective, por lo que es $X \times Y \to Z \times Y$ cualquier $Y$.)

Answer 2

Esperamos que esto sea cierto, ya que la correcta es la geometría algebraica versión de compacto y sabemos imágenes continuas de conjuntos compactos es compacto. En efecto, más de la $\mathbb{C}$, podríamos ver esto como la prueba desde $X/\mathbb{C}$ es correcta si y sólo si a es compacto en la analítica de la topología.

En general, supongamos que la base es $S$ (usted puede elegir su favorito de campo, pero ya no especificar pensé que había que hacer en general). A continuación le mostraremos $Z = f(X)$ es adecuada sobre $S$ por primera muestra $f(X)$ es separado, sobre la $S$, y que el morfismos $f(X) \to S$ es universalmente cerrado.

Por separado, por supuesto $X'$ es separado, sobre la $S$. Considere el diagrama de

$$ \requieren{AMScd} \begin{CD} Z @>>> Z \times_S Z \\ @VVV @VVV \\ {X'} @>>> {X' \times_S X'} \end{CD} $$

Usted puede verificar esto es un producto de fibra de diagrama. La parte inferior de morfismos es un cerrado de inmersión, por lo que su retirada es también un cerrado de inmersión y $Z$ está separado según se requiera.

Siguiente, para universalmente cerrado, la primera nota que $f: X \to X'$ es adecuado. Este es un hecho general sobre la forma correcta de morfismos que si tenemos $f:X \to X'$ es una de morfismos y $X$ es adecuado y $X'$ está separado, a continuación, $f$ es adecuado. Por lo tanto es cerrado.

Ahora queremos mostrar que la estructura de morfismos $Z \to S$ es universalmente cerrado. Sabemos $X \to S$ es universalmente cerrado y $f$ es cerrado. $f$ es surjective en $Z$, por definición, por lo que un subconjunto de a $Z$ es cerrado si y solo si es la imagen de un subconjunto cerrado de $X$. Entonces para cualquier $S$ -$U$, tenemos

$$ X \times_S U \Z \times_S U \a U $$

donde la primera de morfismos es el pullback de $f$ y la composición es el retroceso de $X \to S$. Por la discusión anterior, la primera de morfismos es cerrado y surjective y la composición es cerrada por lo que podemos deducir de la segunda morfismos es cerrado. Por lo tanto $Z \to S$ es universalmente cerrada, lo $Z$ es adecuada sobre $S$.