Un Teorema Debido a Hodge: Hawking/Ellis

Question

Esta es, probablemente, bastante oscuro pregunta, pero espero que alguien tiene una respuesta simple. Estoy estudiando la prueba de la topología teorema sobre los agujeros negros debido a Hawking y Ellis (Proposición 9.3.2, p. 335 de su famoso libro, ver también Heusler `agujero negro de la singularidad de teoremas" p. 99 Teorema 6.17).

La prueba se basa fundamentalmente en un teorema debido a Hodge' que yo no he tenido ningún éxito en la localización. Tengo Hodge del libro, a la que se refieren, `La teoría y aplicaciones de la armónica integrales", pero no puede encontrar el real teorema que están utilizando.

Específicamente, la importante expresión es (eq. (9.6), pág. 336 de Hawking Ellis):

$$p_{b ; d} \hat{h}^{bd} + y_{; bd} \hat{h}^{bd} - R_{ac} Y^{a}_{1} Y^{c}_{2} + R_{adcb} Y^{d}_{1} Y^{c}_{2} Y^{a}_{2} Y^{b}_{1} + p'^{a} p'_{a} \tag{1}$$

Dicen que uno puede elegir $y$ tal que $(1)$ es constante, con signo dependiendo de la integral: $$\int_{\partial \mathscr{B}(\tau)} (- R_{ac} Y^{a}_{1} Y^{c}_{2} + R_{adcb} Y^{d}_{1} Y^{c}_{2} Y^{a}_{2} Y^{b}_{1})$$

En el anterior tenemos: $\partial \mathscr{B}$ es el horizonte de la superficie, $Y^{j}_{1}, Y^{\ell}_{2}$ futuro dirigido null vectores ortogonales a $\partial \mathscr{B}$, $\hat{h}^{ij}$ es la inducida por la métrica en la $\partial \mathscr{B}$ desde el espacio-tiempo, $p^{a} = - \hat{h}^{ba} Y_{2 c ; b} Y^{c}_{1}$, $y$ es la transformación $\boldsymbol{Y}'_{1} = e^{y} \boldsymbol{Y}_{1}$, $\boldsymbol{Y}'_{2} = e^{-y} \boldsymbol{Y}_{2}$ y fnally $p'^{a} = p^{a} + \hat{h}^{a b} y_{; b}$. Por lo $(1) = \text{cst}$ se convierte en una ecuación diferencial en $y$.

Alguna idea sobre lo que es el teorema de invocar?

Answer 1

Mi favorito de referencia para este tipo de cosas de las faldas de la física y la geometría es Frankel "La geometría de la física". En el capítulo sobre armónico de formas, usted encontrará lo que él se refiere simplemente como "Hodge del Teorema". Es un poco más general de lo que usted necesita, ya que se aplica a general $p$-formas, y sólo tendrá funciones (0-formas). Así que me voy a especializar a las funciones.

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Hodge del Teorema (de funciones): Vamos a $M^n$ ser un cerrado de Riemann colector. Entonces la ecuación de Poisson \begin{equation} \Delta \alpha = \rho \end{equation} (donde $\alpha$ $\rho$ son reales-valores de funciones, y $\Delta$ es el Laplaciano) tiene una solución $\alpha$ si y sólo si $\rho$ tiene una media de valor de $0$$M^n$: \begin{equation} \int_M \rho\ \mathrm{vol}^n = 0. \tag{A} \end{equation}

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Así, para aplicar este teorema a su pregunta, hemos^† \begin{align} M &= \partial \mathscr{B}, \\ \alpha &= y, \\ \rho &= \mathrm{const} - \left( p_{b ; d} \hat{h}^{bd} - R_{ac} Y^{a}_{1} Y^{c}_{2} + R_{adcb} Y^{d}_{1} Y^{c}_{2} Y^{a}_{2} Y^{b}_{1} \right). \tag{B} \\ \end{align} Para ponerlo de otra forma, hay una solución para $y$ tal que \begin{equation} y + p_{b ; d} \hat{h}^{bd} - R_{ac} Y^{a}_{1} Y^{c}_{2} + R_{adcb} Y^{d}_{1} Y^{c}_{2} Y^{a}_{2} Y^{b}_{1} = \mathrm{const} \end{equation} si y sólo si la integral de $\rho$ $\partial \mathscr{B}$ es cero.

Como Hawking Y Ellis punto de salida, $p_{b ; d} \hat{h}^{bd}$ es un puro divergencia. Así que usted puede utilizar Stokes teorema de transformar su integral sobre la $\partial \mathscr{B}$ en una integral sobre el límite de $\partial \mathscr{B}$. Pero el límite de una frontera siempre está vacío (al menos para los colectores), de modo que la integral tiene el valor de $0$. Por lo tanto, este término desaparece cuando se integran $\rho$. Ahora, combinando este hecho con (A) y (B), el teorema establece que $y$ tiene una solución si y sólo si \begin{equation} \mathrm{const}\ \int_{\partial \mathscr{B}} \mathrm{vol}^n = \int_{\partial \mathscr{B}} \left( - R_{ac} Y^{a}_{1} Y^{c}_{2} + R_{adcb} Y^{d}_{1} Y^{c}_{2} Y^{a}_{2} Y^{b}_{1} \right)\ \mathrm{vol}^n. \end{equation} El volumen (en realidad, el área de la superficie) se supone que es distinto de cero, y cualquier volumen (área) es no negativo, por lo que el lado izquierdo es simplemente la constante en tiempos de pregunta algún número positivo.

Por lo tanto, como Hawking Y Ellis reclamación, no existe un $y$ de manera tal que los primeros cuatro términos de la pregunta original (1) se suman a una constante, el signo que está determinado por la integral en el lado derecho de arriba.

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^† Tenga en cuenta que he dejado fuera de la $p'^a p'_a$ plazo de: (1) a partir de la pregunta original; el término incluye los derivados de $y$ otros que el Laplaciano, por lo que Hodge del teorema no se aplica a ellos. Pero también tenga en cuenta que Hawking Y Ellis en realidad no dicen que debería ser incluido en lo que es igual a una constante.