Diferentes Tipos de Continuidad Reflexivo Espacio de Banach

Question

Deje $X$ ser reflexiva espacio de Banach con dual $X^*$. Deje $K\subset X$ ser un vacío cerrado conjunto convexo. La asignación de $F: K\rightarrow X^*$ se dice que:

• débilmente continua si $F$ es continua w.r.t. los débiles$^*$ topología en $X^*$ y la inducida por la topología en $K$;

• continua en el finito dimensionales subespacios si por cualquier subespacios $M\subset X$ la restricción de F a $K\cap M$ es continua w.r.t el débiles$^*$ topología en $X^*$ y la inducida por la topología en $K\cap M$;

• hemicontinuous si por cualquier $x, y\in K$ la restricción de $F$ $[x, y]$es continua en w.r.t los débiles$^*$ topología en $X^*$ y la inducida por la topología en $[x, y]$.

Es fácil comprobar que

débil continuidad $\Rightarrow$ continuidad en finito dimensionales subespacios

la continuidad en finito dimensionales subespacios $\Rightarrow$ hemicontinuity.

El inverso no es cierto en general.

Estoy atascado en la construcción de contraejemplos para la inversión de implicación.

Gracias por todos los comentarios y ayuda.

Answer 1

I. Conterexample: la continuidad en finito dimensionales subespacios no implica débil continuidad

Deje $X = \ell_2$ (o cualquier otro de infinitas dimensiones reflexiva espacio de Banach) y $K$ ser la bola unidad cerrada de $X$. Deje $u$ ser arbitrario no-vector cero en $X^*$.

Deje $e_{\alpha}$ ser una base de Hamel en $X$$\|e_{\alpha}\| = 1$. Revisión arbitraria sin límites de la secuencia de los números reales $c_{\alpha}$. Definir un mapa de $F$ sobre vectores $e_{\alpha}$$F(e_{\alpha}) = c_{\alpha} u$. Ahora extender $F$ $K$por la linealidad. Tenemos un mapa de $F$$K$$X^*$. Desde $F$ es lineal, es continua en todos los delimitada subespacio de $X$. Por otro lado, dado que la secuencia de $c_{\alpha}$ es ilimitado, $F$ es ilimitado en $K$ (y por lo tanto no es continua).

II. Conterexample: hemicontinuity no implica la continuidad en finito dimensionales subespacios

Vamos $X={\mathbb R}^2$, $K$ ser la unidad de la bola de $X$, e $u\in X^*\setminus \{0\}$. Definir $F(x,y)$ como sigue $$F(x) = \cases {0,&if $x=0$;\\ \frac{x_1x_2^2}{x_1^2+x_2^{10}} \cdot u, &lo contrario.} $$

Es fácil comprobar que $F$ es continua en cada segmento de $[x,y]$ pero $F$ no es continua en a $0$ (por ejemplo, considere la secuencia de $(1/k^5, 1/k)$ que tiende a $0$ $k\to\infty$ pero $F(1/k^5, 1/k)\not\to 0$).

P. S. en cuenta que desde el $X$ es reflexiva, no hay ninguna diferencia entre el débil-* topología y la debilidad de la topología en $X^*$.