Prueba

Question

Alguien me puede ayudar demostrar $\int_a^b x^2dx = \frac{b^3 - a^3}{3}$, el camino más largo? Sé exactamente qué hacer, pero el álgebra involucrados es simplemente demasiado para mí y sigo cometiendo un error en algún lugar y obtener un resultado diferente cada vez... Necesito demostrar que el uso de la definición de Riemann de una integral, para empezar sería:

$$\int_a^b x^2dx = \displaystyle \lim_{n \to\infty} \sum_{i = 1}^n\left[{a+\frac{bi - ai}{n}}\right]^2\left[\frac{b - a}{n}\right]$$

a la derecha? Y tengo que hacer muchos pasos para probarlo..¿hay una manera más fácil o solo tengo que ir a través de todos los pasos?

Answer 1

Editar : usar d=b-a

$\begin{align} \sum_{i=1}^n \left(a+\dfrac{i(b-a)}{n}\right)^2\left(\dfrac{b-a}{n}\right)&=\left(\dfrac{d}{n}\right)\sum_{i=1}^n \left(a^2+\dfrac{2iad}{n}+\dfrac{i^2d^2}{n^2}\right)\\ &=\left(\dfrac{d}{n}\right)\left(\left(\sum_{i=1}^n a^2\right)+ \left(\sum_{i=1}^n \dfrac{2iad}{n}\right)+\left(\sum_{i=1}^n\dfrac{i^2d^2}{n^2}\right)\right)\\ &=\left(\dfrac{d}{n}\right)\left(na^2+\dfrac{2ad}{n}\sum_{i=1}^n i+\dfrac{d^2}{n^2}\sum_{i=1}^ni^2\right)\\ &=a^2d+\dfrac{2ad^2}{n^2}\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{d^3}{n^3}\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{align}$

ahora busca en el límite de $n\to\infty$, todos los términos en $\dfrac{1}{n}$ desaparecerá.

Los únicos términos que sobrevivir el límite se $a^2(b-a)+\dfrac{2a(b-a)^2}{2}+\dfrac{2(b-a)^3}{6}=\dfrac{a^3-b^3}{3}$

Answer 2

Basta demostramos $$\int_0^1x^2dx=\frac 1 3 $$

Entonces $$\int_0^ax^2dx=\frac {a^3} 3$$ will follow by substitution and $$\int_a^bx^2dx=\int_0^bx^2dx-\int_0^ax^2dx=\frac{b^3-a^3}3$$

Ahora, tomando una parte superior de Darboux suma de $x^2$ $[0,1]$ con una partición regular da $$D(f,\Pi_n)=\frac 1 n\sum_{k=1}^{n} \frac{k^2}{n^2}=\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2$$

Ahora uso $\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(2n+1)(n+1)}6$

Answer 3

Convertir de Riemann de la definición de una integral definida de la siguiente

$$\int_{x=a}^{b} x^2 dx = \lim_{n->\infty }\sum_{i=1}^{n} \left [ a+\frac{bi-ai}{n} \right ]^2 \left [ \frac{b-a}{n} \right ] \text{ ........... equation no 1.} $$

El uso de $$\lim_{n->\infty}\sum_{k=1}^{n}f\left ( k/n \right)\left [ 1/n \right ] = \int_{x=0}^{1} f(x)dx $$ Así, la ecuación 1 se vuelven como a continuación $$\int_{x=0}^{1}\left [ a+(b-a)x\right]^2 dx = \frac{\left [ a+(b-a)x \right ]^3}{3[b-a]} over [x=0,1]$$

$\displaystyle\text{So }\int_{x=a}^{b} x^2 dx =\frac{a^3-b^3}{3}$

Usted puede comprobar esto por más información

http://johnmayhk.wordpress.com/2007/09/24/alpm-sum-an-infinite-series-by-definite-integrals/