Subgrupos de semidirect producto

Question

Si un grupo de $G$ es un producto directo de dos grupos $U$ $V$ tal que $\lvert U \rvert$ $\lvert V \rvert$ son coprime entonces cualquier subgrupo de $G$ es un producto directo de los subgrupos de $U$$V$.

Ahora si $G$ es sólo un semidirect producto, $\lvert U \rvert$ $\lvert V \rvert$ todavía coprime, ¿qué podemos decir acerca de los subgrupos de $G$? ¿Tienen una forma similar?

Answer 1

Deje $G = U \rtimes V$ donde $U$ $V$ son grupos finitos de coprime orden, y deje $H \le G$.

Por lo tanto, si $\pi$ denota el conjunto de números primos dividiendo $|U|$,$U = O_\pi(G)$, e $U$ consiste en el conjunto de todas las $\pi$-elementos de $G$. Por lo $O_\pi(H) \le U $ y claramente $U \cap H \le O_\pi(H)$, lo $O_\pi(H) = U \cap H$.

Ahora $H/O_\pi(H) = H/(H \cap U) \cong UH/U$ $\pi'$- grupo, de modo que, por el Schur-Zassenhaus Teorema, $O_\pi(H)$ tiene un complemento $C$ $H$ y, por tanto,$H = (H \cap U) \rtimes C$.

Ahora, por el conjugacy parte de la Schur-Zassenhaus Teorema (de la que la prueba depende de la Feit-Thompson Teorema de que todos los grupos de orden impar tienen solución, así que estamos utilizando que aquí!), todos los complementos de $U$ $CU$ son conjugadas, por lo $C$ está contenida en un conjugado $V^g$ $V$ y, por tanto,$H = (H \cap U) \rtimes (H \cap V^g)$.