Norma de que el operador $T:\ell^2 \to \ell^2$ define como $(Tx)_1=0, (Tx)_n=-x_n+\alpha x_{n+1}$

Question

Considere la posibilidad de que el operador $T: \ell^2 \to \ell^2$ se define como $$\begin{cases} (Tx)_1 = 0, \\ (Tx)_n = -x_n + \alpha x_{n+1}, \quad n\ge 2 \end{casos} $$ donde $\alpha \in \mathbb{C}$.

Quiero encontrar a la norma $\|T\|$.

---

La restricción mejor que he encontrado es $$ \sqrt{1+|\alpha|^2} \le \|T\| \le 1+|\alpha|. $$ Para ello he considerado que

1. $$\|T\|^2=\sum_{n=2}^\infty |-x_n + \alpha x_{n+1}|^2 \le 2 \sum_{n=2}^\infty (|x_n|^2+|\alpha|^2 |x_n|^2) \le 2(1+|\alpha|^2) \|x\|^2$$ por lo tanto $\|T\| \le \sqrt{2(1+|\alpha|^2)}$.

2. $$x=(0,0,1+\alpha,0,...) \Longrightarrow Tx=(1+\alpha)(0,\alpha,-1,0,...)$$ por lo tanto $\|T\| \ge \sqrt{1+|\alpha|^2}$. Esto es en realidad peor que el obligado encontrar a continuación, así que no es muy útil.

3. El pensamiento de $T$ como la suma de $T_1$ $T_2$ definen, respectivamente, como $$\begin{cases} (T_1 x)_1 = 0, \\ (T_1 x)_n = -x_n, \quad n \ge 2, \end{casos}$$ y $$\begin{cases} (T_2 x)_1 = 0, \\ (T_2 x)_n = \alpha x_n, \quad n \ge 2, \end{casos}$$ tomando nota de que $\|T_1\|=1$$\|T_2\|=|\alpha|$, llegamos a la conclusión de que la desigualdad de triángulo que $$\|T\| \le 1 + |\alpha|.$$ Esta restricción es mejor que la anterior, como puede verse en el gráfico siguiente (donde $x=|\alpha|$):

¿Qué puedo usar para obtener el resultado exacto?

Answer 1

La "geométrica" de la secuencia $x_1=0, x_2=1$, $x_{n+1}=qx_n, n\ge2$, es en $\ell^2$ fib $|q|<1$. Para esta opción se consigue $(y_n)=T(x_n)$ donde para todos los $n\ge2$ hemos $$ y_n=-x_n+\alpha x_{n+1}=x_n(-1+q\alpha). $$ En otras palabras $(x_n)$ es un eigensequence de $T$ pertenecientes al autovalor $\lambda=\lambda(q,\alpha):=-1+q\alpha$. Esto implica que podemos hacer $|\lambda|$ arbitrariamente cerca de $1+|\alpha|$, que luego tiene que ser la norma.

Answer 2

Escribir $\alpha = re^{i\varphi}$$r \geqslant 0$$\varphi \in [0,2\pi)$. Deje $\lambda = -e^{-i\varphi}$. A continuación, considere la posibilidad de

$$x_n = \sum_{k=2}^{n+1} \lambda^k e_k.$$

Tenemos $\lVert x_n\rVert = \sqrt{n}$, y

$$T(x_n) = \sum_{k=2}^n (\alpha \lambda^{k+1} - \lambda^k )e_k - \lambda^{n+1}e_{n+1} = - \sum_{k=2}^n (1+r)\lambda^k e_k - \lambda^{n+1}e_{n+1},$$

de dónde

$$\lVert T(x_n)\rVert > \sqrt{n-1}(1+r).$$

De ello se sigue que

$$\lvert T\rVert \geqslant \frac{\lvert T(x_n)\rVert}{\lVert x_n\rVert} > \sqrt{1-\frac{1}{n}}(1+r)$$

para todos los $n \geqslant 2$, lo $\lVert T\rVert = 1+r = 1 + \lvert \alpha\rvert$.