Encuentre secuencias tales que $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})=\pi$ con $a_n,b_n \in Q$ , creciente y definida por recursividad

Question

Para cualquier número real $r$ podemos encontrar un par de números naturales $N$ y $M$ , de tal manera que $\sqrt{N}-\sqrt{M}$ se aproximará $r$ con cualquier precisión (si elegimos $N,M$ suficientemente grande).

Por eso he intentado pensar en alguna secuencia creciente de números enteros que permita calcular $\pi$ de esta manera. Y quiero decir, sin conocer los dígitos de $\pi$ de antemano. Así, $a_n, b_n$ tienen que ser definidos por la propia recursividad. Sin embargo, no he podido avanzar.

1) La forma más sencilla es utilizar el valor conocido de $\pi$ para calcular varios pares de $N,p$ tal que..:

$$\sqrt{N+p}-\sqrt{N} \approx \pi$$

$$N=\left[\frac{(p-\pi^2)^2}{4 \pi^2} \right]$$

Aquí $[]$ es la función suelo. Por ejemplo:

$$\sqrt{30268+1103}-\sqrt{30268}=3.14159$$

2) Si dejamos que los números sean racionales, y no necesariamente crecientes, podemos usar la serie conocida para hacer algo parecido a lo que quiero:

$$\pi^2=6 \left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots \right)$$

$$\pi=\sqrt{6 \left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots \right)}-\sqrt{0}$$

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3) Otra forma, es utilizar la Espiral de Teodoro (espiral de raíces cuadradas):

$$\rho (n)=\sqrt{n}$$

$$\phi (n)=\sum_{k=1}^{n} \arcsin \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{\pi}{2}$$

El $\pi$ surge como límite de la diferencia de radios en aproximadamente el mismo ángulo:

$$\lim_{n \to \infty} \rho(\phi+2\pi)-\rho(\phi)=\pi$$

Por ejemplo, el primer par de números de este tipo es:

$$\sqrt{21}-\sqrt{2}=3.17$$

Sin embargo, no estoy seguro de que sea posible definir correctamente una secuencia que quiero usando esta definición para una espiral - es demasiado complicado (especialmente, encontrar pares de rayos con los ángulos más cercanos).

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¿Podemos encontrar secuencias $\{a_n\}, \{b_n\}$ con $a_n,b_n \in \mathbb{Q}$ , creciente y definida por recursión, tal que $$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})=\pi$$ ?

¿O podemos demostrar que no podemos?

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Editar

Sólo considero las secuencias racionales porque no creo que existan tales secuencias enteras. Sin embargo, estaría muy contento si alguien responde con secuencias enteras.

Pero lo principal es que quiero algo diferente de $$\lim_{n \to \infty} \sqrt{a_n} = \pi+c, ~~~~ \lim_{n \to \infty} \sqrt{b_n}=c$$

Answer 1

Dejemos que $\sum \limits _{k=0} ^\infty x_k$ sea cualquier serie con positivo y racional términos que convergen a $\pi$ . Un ejemplo de ello puede ser

$$\sum _{k=0} ^\infty \frac 1 {16 ^k} \left( \frac 4 {8k+1} - \frac 2 {8k+4} - \frac 1 {8k+5} - \frac 1 {8k+6}\right)$$

pero puede encontrar otros considerando Serie MacLaurin de varias funciones trigonométricas inversas y evaluándolas en puntos simples especiales (por ejemplo, la serie de $\arcsin$ evaluado en $\frac 1 2$ multiplicado por $6$ ).

Dejemos que

$$a_n = \left( \sum _{k=0} ^n x_k + 1 \right)^2, \quad b_n = \left( 1 - \frac 1 n \right) ^2 .$$

Observe que $\sqrt{a_n} - \sqrt{b_n} \to (\pi + 1) - 1 = \pi$ . (El $1$ aquí es arbitrario, puede elegir cualquier otro número estrictamente positivo).

Para demostrar que las secuencias son recursivas, observe que

$$a_{n+1} = a_n ^2 + 2 x_{n+1} a_n + x_{n+1} ^2, \quad b_{n+1} = b_n ^2 - \frac 2 {n (n+1)} b_n + \frac 1 {n^2 (n+1)^2} .$$

(Sin embargo, fíjate en que la recursión no es lineal, pero no has pedido esa propiedad).

Finalmente, las secuencias son crecientes siendo cuadrados de otras secuencias crecientes (para $a_n$ aquí es donde la positividad de $x_n$ importa). También es obvio que las secuencias están hechas sólo de números racionales (aquí es donde la racionalidad de $x_n$ asuntos).

Answer 2

De hecho, he encontrado un método para hacer lo que quiero (sin usar un $b_n$ secuencia como en la respuesta de Alex).

Primero utilizamos una fracción continua para $\pi$ que tiene una estructura regular, por ejemplo:

$$\frac{\pi}{4}=\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{3+\cfrac{4}{5+\cfrac{9}{7+\cdots}}}}$$

Entonces (en lugar de tomar convergentes parciales, como solemos hacer) definimos una secuencia de irracionales cuadráticos de la siguiente manera:

$$x_1=\cfrac{1}{1+x_1}$$

$$x_2=\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{3+x_2}}$$

$$x_3=\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{3+\cfrac{4}{5+x_3}}}$$

Y así sucesivamente, obtenemos una secuencia de irracionales cuadráticos que convergen a $\pi$ .

Es difícil definir una realción de recurrencia explícita para $x_n$ en este caso, pero nunca he dicho que la recursión tenga que ser explícita. El punto principal era obtener una secuencia de aproximaciones en forma de diferencias de raíces sin conocer los dígitos de $\pi$ de antemano.

En este caso obtenemos:

$$4 x_1=2 \sqrt{5}-2=2.472\dots$$

$$4 x_2=2 \sqrt{21}-6=3.165\dots$$

$$4 x_3=\frac{\sqrt{745}}{2}-\frac{21}{2}=3.147\dots$$

$$4 x_4=\frac{\sqrt{49585}}{12}-\frac{185}{12}=3.140\dots$$

Ambos $a_n$ y $b_n$ son crecientes (podemos demostrarlo) y están definidas por recursión (en un sentido muy amplio).

Utilizando otras fracciones continuas regulares para $\pi$ podemos obtener otras aproximaciones de este tipo.

Utilizando la fracción continua simple para $\pi$ por supuesto podemos obtener aproximaciones cuadráticas irracionales mucho mejores en los primeros pasos, como:

$$3+\frac{\sqrt{57}}{2}-\frac{7}{2}=3.1400\dots$$

Sin embargo, tenemos que conocer los dígitos de $\pi$ para obtener una fracción continua simple.

Answer 3

$$a_{n+1} = a_n + \frac{24}{(n+1)^2} ,~ a_1 =25, ~a_2 =6 ,~ b_{n+1} = b_n + \frac{6}{(n+1)^2} , ~b_1=6 , ~~~b_2=\frac{6}{4}$$