Puntos racionales, noción clásica y moderna

Question

En la geometría algebraica clásica, un $\mathbb Q$ -punto racional en una variedad afín compleja, por ejemplo $V\subseteq\mathbb C^n$ es un punto $p=(p_1,\ldots,p_n)$ con $\forall i: p_i\in\mathbb Q$ . Ahora, en lenguaje moderno, un $\mathbb Q$ -punto racional es un morfismo $\operatorname{Spec}(\mathbb Q)\to V$ . Evidentemente, si $V$ se define como $\operatorname{Spec}(\mathbb C[X_1,\ldots,X_n]/I)$ entonces $V$ tiene no $\mathbb Q$ -puntos racionales en este lenguaje. Por supuesto, si $I$ está generada por polinomios con coeficientes en $\mathbb Q$ podríamos ver $V_{\mathbb Q}=\operatorname{Spec}(\mathbb Q[X_1,\ldots,X_n]/I)$ así que $V=V_{\mathbb Q}\times_{\operatorname{Spec}(\mathbb Q)}\operatorname{Spec}(\mathbb C)$ y el clásico $\mathbb Q$ -Los puntos racionales son los $\mathbb Q$ -puntos racionales de $V_{\mathbb Q}$ . Sin embargo, el objeto $V_{\mathbb Q}$ ahora no logra captar todo lo que clásicamente $\mathbb C$ -puntos racionales. Por ejemplo, el esquema $V_{\mathbb Q}=\operatorname{Spec}(\mathbb Q[x]/\langle x(x^2+1)\rangle)$ contiene dos puntos, uno de los cuales es $\mathbb Q$ -racional. Sin embargo, el cambio de base a $\mathbb C$ obtenemos $3$ puntos, ninguno de los cuales es $\mathbb Q$ -racional.

Esto es algo insatisfactorio para mí. La definición clásica parece tan directa y limpia, y tengo un solo objeto $V$ que contiene todos mis $\mathbb C$ -puntos racionales mientras sea posible identificar fácilmente el $\mathbb Q$ -puntos racionales. Desgraciadamente, los libros de texto habituales no profundizan en los méritos del lenguaje moderno con respecto a este aspecto concreto. Estaría muy agradecido si alguien pudiera hacerlo.

Supongo que mi pregunta debería formularse de la siguiente manera: Dado un esquema $V$ definido sobre $\mathbb C$ ¿Cuál es la forma correcta, en lenguaje moderno, de identificar lo que yo consideraría clásicamente como el $\mathbb Q$ -puntos racionales en $V$ ?

Answer 1

Tenga en cuenta que si $V\subset \mathbb{C}^n$ es una subvariedad compleja, el hecho de que $V$ tiene un punto racional depende realmente de la incrustación (Tome la línea $X=0$ y la línea $X=\pi$ en un plano).

Por lo tanto, la cuestión es si $V$ tiene un $\mathbb{C}$ -punto que resulta estar sobre un $\mathbb{Q}$ -punto de $\mathbb{C}^n$ .

En otras palabras, estás buscando diagramas conmutativos $$ \require{AMScd} \begin{CD}Spec\mathbb{C} @>>> Spec\mathbb{Q}\\ @VVV @VVV \\ V @>>> \mathbb{A}_{\mathbb{Q}}^n \end{CD} $$

Answer 2

Dejemos que $L$ sea una extensión de Galois de $K$ y $G = \mathrm{Gal}(L/K)$ . Sea $X$ ser un $K$ -esquema. Entonces $G$ actos en el plató $X(L)$ de $K$ -morfismos $\mathrm{Spec}(L) \to X$ y $X(L)^G = X(K)$ . Así que tal vez haya que tomar invariantes de Galois para definir puntos racionales.

Creo que también es cierto que $X_L(L) = X(L)$ , donde $X_L = X \times_{\mathrm{Spec}(K)} \mathrm{Spec}(L)$ y $X_L(L)$ es el conjunto de $L$ -morfismos $\mathrm{Spec}(L) \to X_L$ pero parece más difícil ver la acción de Galois en $X_L(L)$ ya que todo aquí es vivir sobre $L$ en lugar de sobre $K$ por lo que es difícil averiguar cuál de sus elementos debe llamarse $K$ -racional.

Por ejemplo, con $X = \mathrm{Spec}(\mathbb{Q}[x]/(x(x^2+1))$ como en su pregunta, hay tres $\mathbb{Q}$ -morfismos $\mathrm{Spec}(\bar{\mathbb{Q}}) \to X$ , lo que significa que tres elementos en $X(\bar{\mathbb{Q}})$ . El grupo de Galois absoluto de $\mathbb{Q}$ fija sólo uno de ellos ya que la conjugación intercambia los otros dos, por lo que podemos elegir el punto racional tomando invariantes de Galois.

Editar . Dos cosas. La primera es que en general, uno no necesita realmente $L$ para ser Galois sobre $K$ . Un $L$ -punto de a $K$ -sistema $X$ es sólo un punto $x \in X$ y una incrustación $\kappa(x) \hookrightarrow L$ del campo de residuos $\kappa(x)$ de $x$ en $L$ . Es un $K$ -si esta incrustación es un factor a través de $K$ . Equivalentemente, entre los elementos de $X(L)$ El $K$ -los puntos son los que aparecen en la imagen del mapa $X(K) \to X(L)$ inducido por la inclusión $K \hookrightarrow L$ . Entonces, cuando $L$ es Galois sobre $K$ se puede recuperar esta imagen tomando invariantes de Galois.

Lo segundo. Creo que podría ser demasiado esperar identificar el $K$ -puntos de un $L$ -esquema sin recordar de alguna manera que el $L$ -sistema provenía de un $K$ -¿un esquema para empezar? Es decir, creo que si hubiera una forma de hacerlo, no sería un invariante de isomorfismo en la categoría de $L$ -esquemas. Por ejemplo, con $X = \mathrm{Spec}(\mathbb{Q}[x]/(x(x^2+1)))$ , fíjese que $X_{\bar{\mathbb{Q}}}$ es isomorfo como $\bar{\mathbb{Q}}$ -sistema de $Y = \mathrm{Spec}(\bar{\mathbb{Q}}[x]/(x(x^2-1)))$ con el isomorfismo dado por $x \mapsto ix$ en el nivel de $\bar{\mathbb{Q}}$ -algebras.