¿Es $\{ \{ \emptyset \} \}$ un subconjunto de $\{ \emptyset, \{ \emptyset \} \}$?
Bueno, es equivalente a preguntar si $\{ \emptyset \} \in \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \}$.
Y obviamente lo es.
La respuesta en el manual es extremadamente incorrecta, si lo has citado correctamente. $\{ \{ \emptyset \} \}$ no es igual a $\{ \emptyset, \{ \emptyset \} \}$. (Más fácil de leer, $\{ 5 \}$ no es igual a $\{ \emptyset, 5 \}$.) Es posible que haya un error tipográfico en el libro, o que lo hayas leído incorrectamente o malinterpretado.
Observa que $\{ \{ \emptyset \} \}$ sí es igual a $\{ \{ \emptyset \}, \{ \emptyset \} \}$, porque los conjuntos deben tener elementos distintos y descartamos duplicados: $\{1, 1 \} = \{ 1 \}$. Esta es una posible forma en la que podrías haber malinterpretado el libro, o que el libro podría haber sido impreso incorrectamente.
Nota: ¡Pero asegúrate de cuál es la definición de $\subset$! Algunos usan $A \subset B$ para significar cualquier subconjunto (es decir, incluir $A = B$); otros usan $A \subseteq B$ para esto, en cuyo caso usan $A \subset B$ si $A \subseteq B$ pero $A \ne B$.
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El $\varnothing$ en tu conjunto $\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$ parece no contribuir a la cardinalidad.
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@Vim ¿Estás seguro?
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Si los conjuntos son "iguales", entonces esperaría que cada uno fuera equivalente a $\varnothing$, de lo contrario ¿cuál es el significado de $\{\varnothing\}$?
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@EugenCovaci ¿Es $\{\varnothing,a\}=\{a\}$ verdadero?
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@Vim No, no es cierto
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@Vim: ya sea que ese sea un punto que el autor esté tratando de hacer, o bien es un error significativo... (O ambos)
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Esta es una pregunta tonta, pero me ha pasado muchas veces antes. ¿Estás seguro de que estás mirando la respuesta correcta en la clave de respuestas?
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@EugenCovaci Sé un poco sobre teoría de conjuntos, pero ¿eso implica que $\{1,2,\emptyset\} \neq \{1,2\}$?
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@molarmass Correcto, ve la respuesta de Patrick Stevens, lo explica muy bien.
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En mis clases universitarias, $\subset$ no significaba "adecuado". Para eso necesitarías $\subsetneq$.
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@djechlin: Estoy de acuerdo en que $\subsetneq$ o incluso $\subsetneqq$ es mejor para la inclusión adecuada. Pero la realidad es que mucha gente usa $\subset$ para la inclusión adecuada. Para empeorar las cosas, hay muchas personas que usan $\subset$ para la inclusión inadecuada, lo que crea un gran conflicto. Por eso es siempre mejor usar $\subseteq$ y $\subsetneq$ que son completamente inequívocos.