¿Por qué no puede usted cuadrado ambos lados de una ecuación?
Me han pedido esto muchas veces y nunca puede dar una respuesta buena, clara y concisa (para principiantes álgebra) en lengua llana. Me a buscado en la web y todavía no pudo encontrar una respuesta simple-a-entender de porqué cuadrar ambos lados da soluciones extrañas.
Si dos cosas son iguales, mientras que hacer lo mismo para ambos, que se mantendrá igual. No hay nada de malo con la toma de la plaza de los dos lados de una ecuación. Sin embargo, usted tiene que tener cuidado si usted quiere tomar la raíz cuadrada de ambos lados, porque la raíz cuadrada no es una función normal: tiene dos valores $\pm \sqrt x$. Por convención, la raíz cuadrada positiva es elegido, y que es lo que la gente quiere decir cuando dicen "la raíz cuadrada". Pero ecuaciones no se preocupan por nuestras convenciones. El hecho de que $(-1)^2 = 1^2$ ciertamente no implica que $-1 = 1$.
En otras palabras, si $x^2 = y^2$, entonces tomando la raíz cuadrada (el uso de la indicada convención) de ambos lados resultados en $|x| = |y|$, no en $x=y$.
Por estas razones, si usted tiene una ecuación que contiene un desconocido, entonces el cuadrado ambos lados de la misma puede introducir nuevas soluciones, así que tienes que ser cuidadoso. Por ejemplo, la ecuación $x=1$, obviamente, tiene una única solución (es decir, $x=1$!) pero el cuadrado ambos lados de que los rendimientos de la ecuación $x^2=1$, que tiene las dos soluciones de $x=\pm 1$.
He tenido que enseñar álgebra a los estudiantes (en el contexto de los adultos ed), así que pensé que me iba a poner mi granito de arena en.
Cuando la plaza de una ecuación el resultado no recuerda cuáles son los signos de los números que fueron antes de la mano. Un cuadrado de la ecuación es, en realidad, dos ecuaciones poner en uno, la ecuación original se quería resolver y un "amigo" de la ecuación que tiene un signo negativo. Las soluciones extrañas son las soluciones de la correspondiente amigo ecuación.
En este punto yo generalmente proporcionan un ejemplo específico de la escritura de una ecuación y su amigo (que tiene un extra de signo negativo) una encima de la otra y, a continuación, dibuje flechas pasando de tanto en común con el cuadrado de la ecuación.
A veces me conducen o envolver la discusión hablando acerca de las diferentes operaciones aritméticas que han aprendido y a punto de que si usted sabe que un número se obtiene al realizar la suma, multiplicación, división, etc. usted siempre puede decirme el número original por revertir el proceso, pero cuando nos cuadrado de un número no tenemos manera de saber el cartel original por mirar el resultado. A menudo es útil para dibujar diagramas que muestran el flujo de la aritmética y hacerlos de revertir algunos de los aritmetic.
Por ejemplo, usted podría decir que tenemos 15 cuando multiplicamos un número por 2 y se añade 1. Entonces (no haciendo hincapié en álgebra simbólica, pero sólo el arithmatic) el estudiante debe ser capaz de revertir el proceso restando 1 (que da 14) y dividiendo por 2 (que da 7) obtener el número original.
Si tu curso es nada como la mía, su primer instinto puede ser para convertir el anterior proceso de la inversión en una ecuación ("reescribir la oración como una ecuación algebraica y resolver para lo desconocido"). Creo que es muy importante no dejar que ellos hagan esto, lo más probable es que van a quedar atrapados en tratar de "resolver para x" y, probablemente, olvidar por qué estamos haciendo esto en el primer lugar. El punto del ejercicio es enseñarles las ideas de invertable y no invertable operaciones no para ver si se puede barajar las cartas alrededor de una página.
Este debe ser envuelto por dar un problema similar pero ahora que implican un noninvertable operación. Por ejemplo, 25 se obtiene elevando al cuadrado de un número, ¿cuál fue el número. Ellos deben ser capaces de reconocer que esta pregunta es errónea, debido a que hay dos números que la plaza 25.
Puedes.
Sin embargo, usted debe tener cuidado de que podría haber introducido soluciones extrañas. Por lo tanto, tienes que comprobar que sus soluciones de la ecuación cuadrática realmente satisfacen la ecuación original.
Caso: resolver $x -1 = 1$.
Si nos cuadrado ambos lados, obtenemos $x ^ 2-2 x + 1 = 1 ^ 2$ y que $0 = x ^ 2-2 x = $ x(x-2). Esto tiene soluciones $x = 0, 2$. Luego tenemos que comprobar atrás si satisfacen la ecuación original.
Esencialmente, el problema viene del hecho de que el cuadrado de la función no es una función inyectiva (también conocido como uno-a-uno). Una forma muy común de observar si una función es inyectiva (especialmente en los niveles de primaria clase de álgebra) es ver en la gráfica de la función y el uso de la línea horizontal de la prueba (que sólo es útil en ciertos contextos).
Una cosa que puede añadir la claridad es notar que los "problemas" que se producen con el cuadrado (la adición de soluciones) no es exclusivo de la escuadra, por lo que no es especial, es sólo apunta a algunas de las mayores principio. Por ejemplo, "cos" de ambos lados, o multiplicando ambos lados por cero y ambos conducen a un mismo problema, de hecho, a diferencia de la cuadra dos de los ejemplos dados pueden añadir infinidad de soluciones, no sólo uno. $x=1$ tiene una de las soluciones, pero $0 \cdot x = 0 \cdot 1$ cada número como una solución.
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