Demostrar que dos triángulos son congruentes

Question

He encontrado un problema en el formulario de internet y se metió pegado tratando de prueba o refutación.

Dice:

Dado $AD=AE$, $BF=FC$, demostrar $\triangle ABE\cong\triangle ACD$

Actualización 1

@Matrial la solución parece muy prometedor, sin embargo la resolución de $FC=BF$ me está matando, me pregunto si hay soluciones, digamos, más Euclidiana?

Answer 1

podemos hacerlo usando el sistema de coordenadas como la de la foto.

Supongamos: $A=(0,0),D=(a,0),B=(b,0)$, debido a $AD=AE$, por lo que $E=(a\cos(\theta),a\sin(\theta))$. $E$ es un punto en la línea de $AC$, por lo que podemos proponer un coeficiente de $\lambda$ que satisface $AC=\lambda\cdot AE$$0<\lambda<1$,$C=(\lambda a\cos(\theta),\lambda a\sin(\theta))$.

Ahora podemos obtener la función de las dos de la línea de $CD$$BE$, el resultado es $$CD:y=\frac{\lambda\sin(\theta)}{\lambda \cos(\theta)-1}(x-a)$$ $$BE: y=\frac{a\sin(\theta)}{a\cos(\theta)-b}(x-b)$$ Ahora calculamos la intersección de estas dos líneas y obtener $$F:x_F=\frac{a[\lambda\cos(\theta)(a-b)-(\lambda-1)b]}{a-\lambda b}\\y_F=\frac{a\lambda\sin(\theta)(a-b)}{a-\lambda b}$$ Ahora vamos a utilizar la condición de $FC=BF$, y tiene la ecuación sobre el coeficiente de $\lambda$ $$(b-x_F)^2+y_F^2=(\lambda a\cos(\theta)-x_F)^2+(\lambda a\sin(\theta)-y_F)^2$$ Resolver y eliminar la solución real y la solución de $\lambda>1$, nosotros tenemos la solución $$\lambda = \frac{b}{a}$$ Ahora podemos decir que el $AC=AB$ y en la igualdad está probada.

Answer 2

$\mathbf{Revised\,3}$ (para reflejar el OP preocupación)

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Y todo lo anterior/anterior $\mathbf{erased}$ con mucho gusto, después de reconocer que cualquier prueba geométrica de la que probablemente será circular, de manera que se llevará uno interminables círculos... (probablemente debido a la simetría de la particular de la congruencia).

Creo, pero no estoy seguro, que puede ser resuelto de otra manera. Si podemos demostrar que el cuadrilátero $DFEA$ es grabables, entonces uno puede intentar mediante los correspondientes coeficientes se obtiene de la potencia de los puntos de $B$ $C$ en relación al círculo circunscrito de que cuadrilátero. Quizás los supuestos son suficientes para hacer que los poderes iguales, por lo tanto, todos los extras en el mismo.

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$\mathbf{Addendum\,\,2}$

Y, de hecho, parece que Desargues' con los supuestos adicionales $AD=AE$$BF=FC$, que debe ser inmediata.

Croquis de la prueba para el caso general:

1. Construcción de la circunferencia circunscrita $c$ de los isósceles $ADE$.
2. Seleccione el punto de $B$ sobre la extensión de $AD$.
3. Conducta $BE$. Llegará a una intersección de la circunferencia circunscrita $c$$F$.
4. Conducta $DF$. Llegará a una intersección $AE$ $C$ (ver [*]).
5. Ahora aplicar Desargues (atribuciones de los puntos de $B$ $C$ en relación a la circunscrito $c$), el uso de los supuestos adicionales $AD=AE$$BD=FC$.
6. Bajo los dos supuestos, 5) implica $F$ se encuentra en la bisectriz de $A$, y todo lo demás de la siguiente manera.

[*] El caso de degeneración de la anterior construcción, es al $DE$ es un diámetro de $c$. En este caso el cuadrilátero inscrito será un cuadrado, con sus dos diagonales diámetros, pero en este caso suposiciones $BF=FC$ no tienen sentido, por lo que este caso es rechazado. Si se omite este caso, el punto de $C$ existe.

Necesita un montón de trabajo para ver completamente. Si no la ves, voy a tratar de agregar más a este.

Answer 3

Construcción de BC, a continuación, Construir una línea paralela a BC por el punto A.

El próximo extender hasta que se reúne en la línea paralela desde el paso anterior y haga lo mismo con la línea CD, vamos a llamar a estos puntos donde se unen la línea paralela G y H respectivamente

Ahora tenemos el ángulo de la FBC = FCB = EDAD = AHD (por ulternate interior de los ángulos de rectas paralelas cortadas por una transversal.)

Ahora desde la línea de GH es paralelo a BC sabemos que el ángulo de GAE = HABÍA

Ahora por AAS hemos trianlge EDAD congruente a AHD

Ahora desde el ángulo de la ADH = AEG entonces sabemos que el ángulo ADC = AEB( ángulos suplementarios para ángulos congruentes)

Y ahora tenemos triángulo AEB congruente a la ADC por la ASA

Perdón por la mala formato, pero estoy en un gran apuro.