Estoy leyendo "La Geometría de los Espacios de Moduli de Gavillas" por Huybrechts y Lehn, y estoy atascado con la construcción de la Grassmann variedad (por Ejemplo 2.2.2). Agradecería cualquier ayuda, así que aquí va:
Deje que V sea un ser finito dimensional espacio vectorial sobre un campo $k$. Deje $0 \leq r \leq dim(V)$. Definir el Grassmann functor como $\underline{Grass}(V,r):(Sch/k)^o \rightarrow (Sets)$ asociando a cualquier $k$- $S$ finitos tipo el conjunto de todos los subsheaves $K \subset \mathcal{O}_S \otimes V$ localmente libre cociente $ F = \mathcal{O}_S \otimes V/K$ de la fila $r$.
Para cada una de las $r$-dimensional lineal subespacio $W \subset V$ que consideran una subfunctor $\mathcal{G}_W$$\underline{Grass}(V,r)$, asociando a cada una de las $k$-esquema S aquellos localmente libre de cocientes $F$ para que la composición de la $\mathcal{O}_S \otimes W \rightarrow \mathcal{O}_S \otimes V \rightarrow F$ es un isomorfismo, dando una división de la inclusión $W \subset V$. Ahora hacen el claro saltar a decir que a partir de esto se puede concluir que el $\mathcal{G}_W$ está representado por $\text{Spec}(S^*\text{Hom}(V,W)^{\vee})$, que corresponde a homomorphisms que dividir la inclusión del mapa de $W \subset V$". Ahora, si estoy en la interpretación de este correctamente $\text{Spec}(S^*\text{Hom}(V,W)^{\vee})$ es un afín esquema sobre el espacio vectorial de funciones polinómicas en el espacio vectorial $\text{Hom}(V,W)$. Pero no veo cómo un elemento de $\mathcal{G}_W(S)$ da un mapa de esquemas $S \rightarrow \text{Spec}(S^*\text{Hom}(V,W)^{\vee})$. Además, ¿cuál es el reverso del mapa, dado un morfismos de esquemas $S \rightarrow \text{Spec}(S^*\text{Hom}(V,W)^{\vee})$, ¿cómo se obtiene un localmente libre cociente en $\mathcal{G}_W(S)$?
