¿Qué tiene de malo $ \sum_ {i=0}^{ \infty }x^i = \frac {1}{1-x}$

Question

Set $$y= \sum_ {i=0}^{ \infty }x^i $$ Multiplica ambos lados por $x$ entonces tenemos $$yx= \sum_ {i=0}^{ \infty }x^{i+1}$$ Usar el primero para restarle el segundo, tenemos $$y(1-x)=1$$ Entonces tenemos $$y= \frac {1}{1-x}$$ , lo que significa que

$$ \sum_ {i=0}^{ \infty }x^i = \frac {1}{1-x}$$

Pero obviamente sólo cuando $|{x}|<1$ la ecuación se mantiene.

Entonces, ¿qué hay de malo con el proceso de deducción anterior? Oí opacamente que está relacionado con el dominio de la convergencia, pero apenas le encuentro la gracia.

Answer 1

Los problemas son (como otros han mencionado) cuando se restan las dos series. Las reglas para sumar o restar series dicen que sólo puedes hacerlo cuando tienes convergente serie. Así que si $\lvert x\lvert \geq 1$ entonces la serie que ha establecido para ser $y$ no es convergente. Por lo tanto, no sabes que puedes restar las dos series en ese caso.

La regla es esa: Si la serie $\sum a_n$ es convergente con la suma $a$ y $\sum b_n$ es convergente con la suma $b$ , entonces la serie $\sum a_n + b_n$ es convergente con la suma $a + b$ .

Observe de nuevo el requisito de que tiene que empezar con dos series que conozca son convergentes.

Pero como se trata de demostrar la fórmula, no se sabe a priori cuándo converge la serie ni siquiera para $\lvert x\lvert < 1$ .

Por eso hay que empezar con sumas finitas como se hace en este Artículo de Wikipedia .

Answer 2

Para $x\geq1$ : $$y=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^nx^i=\infty,\\ yx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^nx^{i+1}=\infty\Rightarrow\\ y-yx=\infty-\infty=?$$

Answer 3

Realmente, el problema es la forma de operar en la primera igualdad: cuando se deja $y$ es igual a una suma infinita, $y$ podría ser posiblemente infinito, en cuyo caso, cosas como $y - yx$ es de la forma de pez $\infty -\infty$ .

Answer 4

Al restar las dos ecuaciones podrías estar restando el infinito del infinito, que no es algo que quieras hacer.