Definición de cerrado subscheme

Question

Deje $(X,\mathcal O_X)$ ser un esquema. Estoy usando la siguiente definición de Görtz-Wedhorn. Un cerrado subscheme de $(X,\mathcal O_X)$ es un esquema de $(Z,\mathcal O_Z)$ donde $i\colon Z\hookrightarrow X$ es un subconjunto cerrado de $X$, y para el cual existe un ideal gavilla $\mathcal I\subset\mathcal O_X$ junto con un isomorfismo $\mathcal O_X/\mathcal I\cong i_*\mathcal O_Z$.

En otros lugares he visto la definición de que un cerrado subscheme es un esquema de la forma $(Z,i^{-1}(\mathcal O_X/\mathcal I))$ donde $Z\subset X$ es un subconjunto cerrado y $\mathcal I\subset\mathcal O_X$ es un ideal de la gavilla.

Parece que estas definiciones son equivalentes. Ciertamente, la primera implica la segunda, desde la $i^{-1}i_*\mathcal O_z=\mathcal O_Z$. ¿Cómo puedo mostrar la otra implicación?

Answer 1

Supongamos que tenemos un cerrado subscheme $(Z,\mathcal{O}_Z)$ según la segunda definición. Deje $\mathcal{J}$ ser el ideal gavilla en $X$ define diciendo $f\in\mathcal{J}(U)$ fib para cada $p\in U\cap Z$, $f_p\in\mathcal{I}_p$. Es decir, $\mathcal{J}$ se compone de secciones de $\mathcal{O}_X$ que son localmente en $\mathcal{I}$ en cada punto de $Z$. Luego tenemos la $i^{-1}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\cong i^{-1}(\mathcal{O}_X/\mathcal{I})= \mathcal{O}_Z$ desde $\mathcal{I}$ $\mathcal{J}$ tienen el mismo tallos en los puntos de $Z$, lo $(Z,\mathcal{O}_Z)$ también satisface la segunda definición con respecto a $\mathcal{J}$. Yo reclamo que $(Z,\mathcal{O}_Z)$ satisface la primera definición con respecto a $\mathcal{J}$.

El isomorfismo $F:i^{-1}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\to\mathcal{O}_Z$ induce un homomorphism $G:\mathcal{O}_X/\mathcal{J}\to i_*\mathcal{O}_Z$. Queremos mostrar $G$ es un isomorfismo. Para probar esto, nos fijamos en los tallos. Si $p\in Z$, luego el tallo de $i_*\mathcal{O}_Z=i_*i^{-1}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})$ $p$ es sólo el tallo de $\mathcal{O}_X/\mathcal{J}$$p$, lo $G$ es un isomorfismo en los tallos en $p$. Si $p\in X\setminus Z$, luego el tallo de $i_*\mathcal{O}_Z$$p$$0$, por lo que es suficiente para mostrar que el tallo de $\mathcal{O}_X/\mathcal{J}$$p$$0$. Pero esto es inmediato a partir de la definición de $\mathcal{J}$: $\mathcal{J}$ es todo de $\mathcal{O}_X$$X\setminus Z$, ya que la prueba de $f$ a ser un elemento de $\mathcal{J}(U)$ es vacuo si $U$ es disjunta de a $Z$.

Se nota que no es necesariamente cierto que $(Z,\mathcal{O}_Z)$ satisface la primera definición con respecto a $\mathcal{I}$. Por ejemplo, si $Z=\emptyset$, luego la segunda definición está satisfecho por cualquier ideal $\mathcal{I}$ a todos, pero la primera definición sólo puede ser satisfecha si $\mathcal{I}=\mathcal{O}_X$. Más generalmente, la primera definición sólo puede ser satisfecha si $\mathcal{I}$ es de $\mathcal{O}_X$$X\setminus Z$, pero la segunda definición no le importa lo $\mathcal{I}$ está fuera de un barrio de $Z$.