Demostrando que $f(n)$ es un número entero utilizando la inducción matemática

Question

Quiero demostrar que

$$\frac{n^3}{3}+\frac{n^5}{5}+\frac{7 n}{15}$$

es un número entero para cada número entero $n \geq 1$ .

Defino P(n) como:

$$\frac{n^3}{3}+\frac{n^5}{5}+\frac{7 n}{15}$$ es un número entero.

Para mi paso básico P(1) es verdadera porque

$$\frac{1^3}{3}+\frac{1^5}{5}+\frac{7}{15}=1$$ que es un número entero.

El paso inductivo es lo que me está confundiendo...

Sea k un número entero positivo arbitrario. Supongamos que P(k) es verdadera, es decir,

$$\frac{k^3}{3}+\frac{k^5}{5}+\frac{7 k}{15}$$ es un número entero.

Por lo tanto, basándome en esa suposición, necesito demostrar ahora que P(k+1) es verdadera, es decir, que

$$\frac{(k+1)^3}{3} +\frac{(k+1)^5}{5} +\frac{7 (k+1)}{15}$$ es un número entero.

En este punto, estoy atascado en cuanto a dónde ir después...

He intentado reescribir el supuesto:

$$\frac{k^3}{3}+\frac{k^5}{5}+\frac{7 k}{15}=15 m$$ para algún número entero m. Entonces resuelvo para m:

$$\frac{1}{15} \left(\frac{k^3}{3}+\frac{k^5}{5}+\frac{7 k}{15}\right)=m$$

Pero esto parece un callejón sin salida, parece que no hay nada que pueda hacer con esto a la ecuación "para probar".

También he intentado reescribir la ecuación "para mostrar" como esto, pero me encuentro con un callejón sin salida y no estoy seguro de dónde ir después:

$$\frac{1}{15} \left(5 (k+1)^3+3 (k+1)^5+7 (k+1)\right)$$

Answer 1

¿Por qué cree que $P(k) = 15m$ para algún número entero $m$ si no se mantiene para, por ejemplo $k=1$ ? Si usted asume que $P(k)$ es entero, entonces la estrategia consiste en demostrar que $$ P(k+1) - P(k) \in\mathbb Z $$ y déjanos hacerlo: $$ P(k+1) - P(k) = \frac{1}{5}((n+1)^5-n^5)+\frac13((n+1)^3 - n^3)+\frac7{15} = $$ $$ = \frac15(5n^4+10n^3+10n^2+5n+1) +\frac13(3n^2+3n+1)+\frac7{15} $$ $$ = n^4+2n^3+2n^2+n +\frac15+n^2+n+\frac13+\frac{7}{15} $$ $$ = n^4+2n^3+3n^2+2n+1 $$ $$ =(n^2+n+1)^2\in \mathbb Z $$ y ya está.

Answer 2

Este problema se vuelve trivial cuando se piensa en términos de división. Hay que tener en cuenta que el denominador común de las fracciones es 15. Por lo tanto, todo lo que tenemos que demostrar es que $$15 \mid 3n^5+5n^3+7n\;\;\forall n$$ Desde $15=3 \cdot 5$ todo lo que tenemos que demostrar es que tanto 3 como 5 dividirán esto para todos $n$ . Para hacerlo fácil, simplemente mostramos que la ecuación es 0 módulo 3 y módulo 5 para todo $n$ .

Obsérvese que mod 3, nos queda $2n^3+n$ y sólo hay que tener en cuenta $n=0,1,2$ . Esto se comprueba fácilmente.

Del mismo modo, mod 5, nos queda $3n^5+2n$ y debe considerar $n=0,1,2,3,4$ . De nuevo, esto se comprueba.

Desde $\gcd(3,5)=1$ se deduce que esta ecuación será divisible por su producto, 15, para todo $n$ también.

Answer 3

He aquí una prueba que no es por inducción, pero que puede ser instructiva.

Utilizando diferencias repetidas en los primeros valores de $P(n)$ obtenemos $$ \begin{array}{llll} 0 & 1 & 10 & 59 & 228 & 669 & 1630 & \\ 1 & 9 & 49 & 169 & 441 & 961 & \\ 8 & 40 & 120 & 272 & 520 & \\ 32 & 80 & 152 & 248 & \\ 48 & 72 & 96 & \\ 24 & 24 & \\ 0 & \\ \end{array} $$ Fórmula de interpolación de Newton entonces nos da $$ P(n)= 0 \binom{n}{0} + 1 \binom{n}{1} + 8 \binom{n}{2} + 32 \binom{n}{3} + 48 \binom{n}{4} + 24 \binom{n}{5} $$

Esto es claramente un número entero para todos $n\ge 0$ .

En general, si un polinomio de grado $d$ y con coeficientes racionales toma valores enteros para $d+1$ enteros consecutivos, entonces toma valores enteros para todos los argumentos enteros porque todas las diferencias repetidas son enteras y también lo son los coeficientes en la fórmula de interpolación de Newton.

Answer 4

Expande los binomios y agrupa las fracciones resultantes de forma que obtengas números enteros.

En otras palabras, usted sabe que

$$(k + 1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1$$

y

$$(k + 1)^5 = k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1$$

Eso debería servir.

Answer 5

Es necesario utilizar el hecho de que un entero es otro entero. Ahora pon $k$ y considerar el resultado como verdadero, entonces ir por $k-1$ . Desde el paso en el que se pone $k$ se obtiene una ecuación que da un $\frac{k^3}{3}+\frac{k^5}{5}+\frac{7k}{15}=p$ (un número entero). Utilizando esto y el hecho indicado en la línea $1$ resuelve el problema.