Acotamiento de un integrante del operador

Question

Deje $K_n \in L^1([0,1]), n \geq 1$ y definir lineal mapa de $T$ $L^\infty([0,1]) $a de las secuencias de $$ Tf = (x_n), \;\; x_n =\int_0^1 K_n(x)f(x)dx$$ Mostrar que $T$ es un delimitada lineal operador de $L^\infty([0,1]) $ $\ell^\infty$fib $$\sup_{n\geq 1} \int_0^1|K_n(x)| dx \lt \infty$$

Yo: $(\Leftarrow)$ $$\sup_n |x_n| = \sup_n |\int_0^1 K_n(x)f(x) dx| \leq \sup_n\int_0^1 |K_n(x)f(x)| dx \leq \|f\|_\infty \sup_n\int_0^1 |K_n(x)|dx $$ $(\Rightarrow)$ No puedo obtener el valor absoluto de la derecha. Yo estaba pensando uniformados acotamiento y que cada coordenada puede ser escrito con la ayuda de un funcional lineal. Pero luego termino con $\sup_{\|f\| = 1} |\int_0^1 K_n(x) f(x) dx | \leq \infty$. Puedo elegir mi $f$, por lo que puedo conseguir lo que quiero?

Answer 1

Supongamos que $\int_0^1|K_n(x)|\,\mathrm{d}x$ es ilimitado, sin embargo, existe cierta $M$, de modo que $$ \left|\int_0^1K_n(x)f(x)\,\mathrm{d}x\right|\le M\|f\|_\infty $$ Encontrar$N$, de modo que $\int_0^1|K_N(x)|\,\mathrm{d}x\gt M$. Definir $$ f(x)=\left\{\begin{array}{}+1&\text{if }K_N(x)\ge0\\-1&\text{if }K_N(x)\lt0\end{array}\right. $$ Entonces $$ \begin{align} \int_0^1K_N(x)f(x)\,\mathrm{d}x &=\int_0^1|K_N(x)|\,\mathrm{d}x\\ &\gt M \end{align} $$ sin embargo,$\|f\|_\infty=1$. Contradicción.

Answer 2

Sí, usted puede elegir $f$ como usted desea. Si $T$ es limitada, a continuación, $$ \existe C>0\qquad\left\vert \int_0^1K_n(x)f(x)\,dx\right\vert\leq C \Vert f\Vert_{L^\infty}\qquad \forall f\en L^\infty\quad \forall n\in\mathbb{N}. $$ Fix $m\in\mathbb{N}$, si tomamos $f=\text{sign}(K_m)\in L^\infty$ $$ \int_0^1 \vert K_m(x)\vert\,dx\leq C. $$ Repita esta construcción para cada $m\in\mathbb{N}$ y obtener $$ \sup_{n\in\mathbb{N}}\int_0^1 \vert K_n(x)\vert\,dx\leq C<+\infty. $$