Dominio de $\frac {\cos x}{\sin x}$ vs $\frac {1}{\tan x}$?

Question

Ayudaba a un estudiante de cálculo avanzado a graficar una función que involucraba a $\cot x$ y me di cuenta de que estas dos definiciones diferentes (que pensé que eran equivalentes) son ligeramente distintas.

Cuando encontramos el dominio de $\dfrac {\cos x}{\sin x}$, solo excluimos los ceros de $\sin x$. Cuando encontramos el dominio de $\dfrac {1}{\tan x} = \dfrac {1}{\frac {\sin x}{\cos x}}$, debemos preocuparnos por los ceros tanto de $\sin x$ como de $\cos x$. Mi amigo dijo que las definiciones son equivalentes, porque $\dfrac {\cos x}{\sin x} = \dfrac {1}{\frac {\sin x}{\cos x}}$ incluso cuando $\cos x = 0$, pero no creo que eso sea cierto. ¿Quién de los dos tiene la razón?

Answer 1

Puedes escribir x como $\frac{1}{\frac{1}{x}}$ y plantea el mismo problema. Cuando se escribe en la última forma, hay una singularidad removible en x=0. Lo llamamos "removible" porque la función y=x sería continua en x=0 si reemplazaramos el punto faltante con $\lim_{x\rightarrow 0}x$. Lo mismo se aplica para las singularidades múltiples generadas cuando escribimos $\frac{1}{\tan x}$ como $\frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}}$

Answer 2

Estás en lo correcto, al igual que tu razonamiento. Si $\cos(x)=0$, entonces $$\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$$ es cero dividido por un número distinto de cero, lo cual está definido en la aritmética real, y es igual a cero. Por otro lado, $$\frac{1}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}$$ es uno dividido por $$\frac{\sin(x)}{\cos(x)}.$$ El último es un número distinto de cero dividido por cero. Esto no está definido. Por lo tanto, el valor de $$\frac{1}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}$$ es igualmente indefinido.

Answer 3

Ambos tienen razón.

Existen dos convenciones útiles diferentes, que podrían describirse aproximadamente como:

• Propagar exactamente el dominio de definición de una expresión de la manera precisa que describes.
• Normalizar el resultado de una división, limpiando el resultado de una expresión al hacer cosas como extender continuamente a través de discontinuidades removibles, y posiblemente hasta $\pm \infty$ también.

Tienes razón al interpretar la fórmula a través de la primera convención, y tu amigo tiene razón al interpretar la fórmula a través de la segunda convención

Answer 4

Dominio de $\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

$$ = \{ x \in \mathbb{R} \, : \; \sin(x) \ne 0 \} $$

mientras

Dominio de $\frac{1}{\tan(x)}$

$$ = \{ x \in \mathbb{R} \; : \; \sin(x)\cos(x) \ne 0 \} $$