Los Elementos de Euclides comienzan con cinco postulados, incluyendo el quinto, el famoso Postulado paralelo . Menos conocido, sin embargo, es el Postulado que forma la base de la motivación detrás del quinto: el cuarto que establece que "todos los ángulos rectos son iguales". Los estudiantes que vean esto por primera vez podrían encontrar esto desconcertante, porque obviamente dos ángulos que son iguales a un ángulo de 90 grados son iguales entre sí, ya que Noción común 1 dice que "las cosas que son iguales a la misma cosa son también iguales entre sí". Pero entonces se dan cuenta de que el asunto es tan sencillo: la definición de un ángulo recto es un ángulo producido cuando dos líneas se cruzan entre sí y producen ángulos adyacentes iguales, y no está claro por qué un ángulo producido por uno de esos pares de líneas debe tener alguna relación con un ángulo producido por otro de esos pares de líneas.
Así que el cuarto postulado de Euclides no es redundante por la razón que los estudiantes principiantes puedan pensar. Pero mi pregunta es, ¿es sin embargo un postulado redundante, aunque por razones mucho menos triviales? David Hilbert, en su Fundamentos de la geometría (Grundlagen der Geometrie en alemán), afirma probar el cuarto postulado de Euclides en el teorema 15 (en la página 19 del PDF o en la página 13 según la numeración interna de las páginas del libro), precediendo la prueba diciendo "es posible deducir el siguiente teorema simple, que Euclides sostuvo - aunque me parece erróneo - como un axioma".
Ahora bien, es justo decir que Hilbert trabajaba en un sistema de axiomas diferente (y más riguroso) que el de Euclides, pero creo que la prueba de Hilbert debe ser considerada seriamente por dos razones. En primer lugar, ¿por qué calificaría la decisión de Euclides de llamar "todos los ángulos rectos son iguales" a un Postulado como "erróneo" si simplemente reflejaba una diferencia estilística en cuanto a lo que elige como supuestos de partida y lo que considera teoremas? Pero lo más importante, al rastrear todas las suposiciones utilizadas en la prueba del teorema 15, me parece que sólo cuatro de los axiomas de Hilbert se utilizan en última instancia: IV 3, IV 4, IV 5 y IV 6. Y no creo que Euclides se haya opuesto a ninguna de estas afirmaciones:
IV 3 sigue directamente de la de Euclides Noción común 2.
El IV 4 está en parte establecido en el Libro I Propuesta 23 que no depende del cuarto postulado, y la parte de la IV 4 que (creo) no se afirma es fácilmente demostrable en el sistema de Euclides.
El IV 5 sigue al de Euclides Noción común 1 .
El IV 6 es sólo una parte de la Libro I Propuesta 4 que no depende en absoluto del cuarto postulado.
Entonces, ¿podría Euclides haber probado su cuarto postulado como un teorema en lugar de sólo asumirlo?
Cualquier ayuda sería muy apreciada.
Gracias por adelantado.
EDITORIAL: Me parece que la idea clave que impulsa la prueba de Hilbert es que la Propuesta 4 del Libro I de Euclides, es decir, el teorema de congruencia del lado del ángulo lateral (SAS), implica que los suplementos de ángulos iguales son iguales. ¿Puede alguien confirmar o negar que esta implicación es de hecho válida, y si es válida, que la conclusión puede ser usada para mostrar que todos los ángulos rectos son iguales?
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Sugiero uno de los tratamientos modernos, ya que Hilbert dio un esquema pero dejó muchas partes sin terminar. Dos que tengo son Euclides: Geometry and Beyond, de Robin Hartshorne; Euclidean and Non-Euclidean Geometries, de Marvin Jay Greenberg.
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@WillJagy Eso puede ser cierto en general (y esas referencias parecen interesantes), pero el razonamiento que lleva al teorema 15 parece bastante detallado. Pero en cualquier caso, lo que realmente me interesa no es el sistema de Hilbert como tal, sino si la demostración de Hilbert se puede trasplantar al sistema de Euclides, o si el hecho de que el cuarto postulado de Euclides sea un teorema se debe sólo a alguna peculiaridad del sistema de Hilbert.
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Me pregunto si Euclides no aplicó el "método" de prueba de prop. I.4 para demostrar el post. 4. Ese método está abierto a la objeción según los estándares modernos, pero si Euclides pudo utilizarlo en I.4, ¿por qué no en el postulado?
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@MichaelE2 Euclides trató el método de superposición (que es el que utilizó para demostrar la Proposición 4 del Libro I) de la misma manera que trató el Postulado Paralelo: algo que resulta ser cierto, pero que debe evitarse si se tiene un método de prueba más conservador. Así que probablemente no lo habría utilizado directamente para demostrar el cuarto postulado. Sin embargo, definitivamente habría utilizado la Proposición 4 del Libro I para demostrar el cuarto Postulado si hubiera podido, y la prueba de Hilbert es lo suficientemente sencilla como para que Euclides pudiera haberla descubierto fácilmente, por lo que me hace cuestionar la validez y los supuestos de la prueba de Hilbert.
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Entonces me pregunto si no asumió I.4.
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@MichaelE2 ¿Qué quieres decir con "por qué no asumió I.4"? ¿Estás preguntando por qué Euclides no tomó I.4 como axioma, como hizo Hilbert? Bueno, aunque Euclides creía que había que evitar el uso de ciertos métodos (como la superposición y el Postulado Paralelo) cuando es posible hacer la prueba por algún otro medio, pensaba que si ningún otro método de prueba funcionaba, entonces es aceptable usar la superposición. Por eso hizo de I.4 un teorema. ¿O te estás preguntando por qué no utilizó I.4 para demostrar el cuarto postulado? Bueno, esa es exactamente mi pregunta. Me hace ver la prueba de Hilbert como sospechosa.
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Sí, me refería a por qué E. no hizo de I.4 un axioma. En realidad, me pregunto por qué no hizo de la capacidad de encajar una figura en otra un axioma explícito. Dado que la utilizó de forma crítica en I.4 (y en I.8), en la que se basan la mayoría de los demás accesorios, no creo que pudiera considerarla sospechosa, pero no podemos estar seguros de lo que creía. Se podría argumentar que la capacidad de superponer figuras está implícita en C.N. 4, al igual que la suma y la resta de magnitudes se presumen en C.N. 1-3. Es mejor demostrar una afirmación que suponerla. Así pensaban los griegos, pues E. fue así criticado por el post. 5.