Necesito ayuda para calcular el límite de $(e^x+x)^{1/x}$ $x$ se aproxima a cero. Solo necesito ayuda para empezar con el cálculo. La única manera en que puedo pensar de reorganizar la ecuación es la distribución de la $1/x$.
Respuestas
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Este límite es una $1^\infty$ forma indeterminada, y no hay un método estándar para atacar a tales límites. Deje $$L=\lim_{x\to 0}\left(e^x+x\right)^{1/x}\;.$$ La función del registro es continuo, de modo que
$$\begin{align*} \ln L&=\ln\lim_{x\to 0}\left(e^x+x\right)^{1/x}\\ &=\lim_{x\to 0}\ln\left(e^x+x\right)^{1/x}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(e^x+x\right)}x\;. \end{align*}$$
Aquí el numerador y el denominador tienden a $0$$x\to 0$, lo que se puede aplicar la regla de l'Hospital de.
Sumanta
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11
Sin el uso de l'Hospital, usted puede hacer esto: $$ \lim_{x\to 0} (e^x + x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to 0} (e^x(1 + \frac{x}{e^x}))^{\frac{1}{x}}=$$ $$ = \lim_{x\to 0} e (1 + \frac{x}{e^x})^{\frac{1}{x}}= e \lim_{x\to 0} \big[(1 + \frac{x}{e^x})^{\frac{e^x}{x}}\big]^\frac{1}{e^x}=$$ $$ = e \big[\lim_{x\to 0} (1 + \frac{x}{e^x})^{\frac{e^x}{x}}\big]^{\lim_{x\to 0}\frac{1}{e^x}}= e \cdot e^1 = e^2.$$
Se ha hecho uso de los hechos de que:
Si $u(x) \to 0$$x \to 0$, $$(1+u(x))^{\frac{1}{u(x)}} \to e,$$ y $$\lim u(x) ^{v(x)} = \big(\lim u(x) \big)^{\lim v(x)},$$ siempre que la persona existen límites.
Matthew Scouten
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Laura
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Sugerencia: Tomar el logaritmo y reescribir el límite para el uso de L'Hospital. El resultado termina siendo $e^2$. Lo que quiero decir es escrito como $$\exp\left(\lim_{x\to 0} \frac{\log(x+e^x)}{x} \right)$$
Ahora es de $0/0$, así que usted puede utilizar de L'Hospital.
Alternativa sugerencia: Posiblemente volver a escribir como una serie y aviso los términos de orden superior ir a $0$. Por lo tanto, se puede calcular el límite cuando sólo el primer término de la Serie de Taylor, que se acaba de $e^2$.
