Pregunta sobre un paso en la demostración del segundo teorema de isomorfismo

Question

Mi libro dice: Desde $B$ es normal, el grupo cociente $AB/B$ está bien definido. Quiero saber por qué la "buena definición" de $AB/B$ depende de $B$ ser normal. Avísame si necesitas más contexto para darle sentido a esta pregunta. Además, ¿por qué el segundo teorema del isomorfismo se llama también teorema del isomorfismo del diamante? ¿Es algo histórico?

Answer 1

El grupo cociente se define como el conjunto de todos los cosets (digamos izquierdos) de $B$ , escrito $gB$ para algunos $g \in G$ con la operación definida como $(gB) \circ (hB) = (g\circ h)B$ . Para que esto esté bien definido, requerimos que $gB = g'B$ y $hB = h'B$ $\implies ghB = g'h'B$ . Es decir, dos representaciones cualesquiera del mismo coset se comportan de la misma manera, por lo que no importa cuál elijamos.

Aquí es donde entra la normalidad, $gB=g'B \implies\exists k_1 \in B$ tal que $g' = gk_1$ . Del mismo modo, $\exists k_2$ tal que $h' = hk_2$ . Ahora, $$g'h'B = gk_1hk_2B = g(hh^{-1})k_1hk_2B$$ normalidad de $B$ significa que $h^{-1}k_1h = k_3$ para algunos $k_3 \in B$ . Por lo tanto, desde arriba:

$$g'h'B = ghk_3k_2B = ghB$$

Esto demuestra que si $B$ es normal, entonces el grupo cociente está bien definido. También es posible demostrar que si el grupo cociente está bien definido entonces $B$ es normal. Esto no es demasiado difícil, y espero que lo anterior sea más lo que buscabas de todas formas. Si no es así, hágamelo saber y completaré el resto de los detalles.

Answer 2

Se llama teorema del isomorfismo del diamante porque, de hecho, los subgrupos normales forman un entramado modular y, cuando se interpreta el segundo teorema del isomorfismo como teorema sobre los entramados modulares, en la imagen se parecerá a un diamante. http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_lattice#Diamond_isomorphism_theorem