Encuentro la coincidencia de la identidad: $$\sin(A+B)\sin(A-B) = \sin^2 A - \sin^2 B$$ muy agradable. Así que me preguntaba si hay más de este tipo de identidades.
Para precisar mi pregunta: ¿Hay más ejemplos de ecuaciones funcionales que también sean válidas para el mapa de identidad?
Por ejemplo, el mapa de identidad y el $\sin$ satisface la función $$(f(A) + f(B))(f(A) - f(B)) = f(A)^2 - f(B)^2.$$
Gracias
Para el caso de las funciones aritméticas (es decir, funciones cuyo dominio es $\mathbb{N}$ ) existe la clase de completamente multiplicativo funciones que satisfacen $f(ab)=f(a)f(b)$ para todos los enteros positivos $a$ , $b$ . Cualquier monomio $x^k$ es un ejemplo, pero la teoría analítica de números contiene ejemplos (caracteres de Dirichlet, por ejemplo) que son mucho menos triviales.
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No entiendo cómo $\sin$ 'preserva' la identidad en este ejemplo. ¿Puede definir "preservar"?
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Creo que significa "tratar la función como si fuera un homomorfismo", por lo que se comienza con $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ , solicitarlo $f$ a ambos lados, para conseguir $f((A+B)(A-B)) = f(A^2 - B^2)$ y luego aplicar las propiedades de homomorfismo para obtener $f((A+B)) f((A-B)) = f^2(A) - f^2(B)$ . No está claro por qué no amplía $f(A+B)$ en $f(A) + f(B)$ en este punto, pero tal vez la regla sea "aplicar las reglas de homomorfismo a cada término entre paréntesis o aislado". Personalmente no encuentro esto tan convincente.
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@John La parte que te parece poco convincente es la que me molesta a mí también. O lo haces siempre o no lo haces en ningún momento.
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Bueno, $\sin$ no es un homomorfismo, y $\sin (A^2) \neq \sin^2 (A)$ (que significa $(\sin A)^2$ ), y el PO excluye explícitamente los homomorfismos como triviales, así que... sí, no está claro qué significa "preservar".
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Yo leo la pregunta como: "¿Hay más ejemplos de ecuaciones funcionales que también sean válidas para el mapa de identidad?" (entendiendo que dicha validez es equivalente a una identidad polinómica). @GitGud
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Creo que Semiclásico es más preciso que yo. ¿Puedo editar mi mensaje y copiar la versión de Semiclassical? ¿O está mal visto editar la pregunta?
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@Isomorfismo: Siéntete libre de editar la pregunta (puedes mencionar a Semiclásico en tu edición) - mejorar la pregunta para hacerla más clara (y respondible) es muy recomendable, no está mal visto.