álgebra homomorphism $k^S \to k$

Question

Deje $k$ ser un campo y $S$ ser un conjunto infinito. Suponga $|S| \leq |k|$. ¿Por qué entonces todos los $k$-álgebra homomorphism $k^S \to k$, equivalente a una proyección de $\mathrm{pr}_s$ algunos $s \in S$?

No sé cómo utilizar la cardinalidad suposición aquí. El homomorphism corresponde a un especial de ultrafilter en $S$ y tenemos que mostrar que es lo principal -, tal vez esto ayude?

Answer 1

Supongamos que $h:k^S\to k$ $k$- álgebra homomorphism. Para $A\subseteq S$ deje $\chi_A\in k^S$ a ser definido por la $$\chi_A(s) = \begin{cases}1_k,& s\in A\\ 0_k,& s\in S\setminus A\;.\end{casos}$$ Let $\mathscr{U}=\{A\subseteq S:h(\chi_A)\ne 0_k\}$.

Si $A,B\in\mathscr{U}$, $\chi_{A\cap B} = \chi_A \chi_B$, por lo $h(X_{A\cap B}) = h(\chi_A)h(\chi_B) \ne 0_k$, y, por tanto,$A\cap B \in \mathscr{U}$. Ahora supongamos que $A\in \mathscr{U}$$A \subseteq B \subseteq S$; a continuación,$\chi_A = \chi_A \chi_B$, lo $0_k \ne h(\chi_A) = h(\chi_A)h(\chi_B)$, y por lo tanto $h(\chi_B) \ne 0_k$, es decir, $B \in \mathscr{U}$. Esto demuestra que $\mathscr{U}$ es un filtro en $S$.

Por último, vamos a $A\subseteq S$, y en aras de la brevedad vamos a $A'=S\setminus A$. $\chi_A \chi_{A'} = 0_{k^S}$, por lo $h(\chi_A)h(\chi_{A'})=h(0_{k^S})=0_k$, y por lo tanto en la mayoría de los una de $A$ $A'$ pertenece a $\mathscr{U}$. Por otro lado, $\chi_A+\chi_{A'}=1_{k^S}$, lo $h(\chi_A) + h(\chi_{A'}) =h(1_{k^S})=1_k$, y al menos uno de $A$ $A'$ pertenece a $\mathscr{U}$. Por lo tanto, $\mathscr{U}$ es un ultrafilter en $S$. Podemos ir más lejos: ya que sabemos que cualquiera de las $h(\chi_A)=0_k$ o $h(\chi_{A'})=0_k$, podemos concluir que para cada $A\subseteq S$, $A\in \mathscr{U}$ iff $h(\chi_A)=1_k$.

Deje $I=\{\varphi\in k^S:Z(\varphi)\in\mathscr{U}\}$ donde $Z(\varphi)=\{s\in S:\varphi(s) = 0_k\}$. Es fácil comprobar que $I$ es un ideal en el $k^S$. $I$ es correcto, ya que $\chi_S \notin I$. Por otra parte, $I$ es máxima. Para ver esto, supongamos que $J\supsetneq I$ es también un ideal, y corregir $\varphi \in J\setminus I$. A continuación,$Z(\varphi)\notin \mathscr{U}$, lo $S\setminus Z(\varphi) \in \mathscr{U}$, e $\chi_{Z(\varphi)} \in I$ (desde $Z(\chi_A) = S\setminus A$ cualquier $A\subseteq S$). De ello se desprende que $\varphi + \chi_{Z(\varphi)} \in I$. Pero $Z(\varphi + \chi_{Z(\varphi)}) = \varnothing$, lo $\varphi + \chi_{Z(\varphi)}$ tiene un inverso multiplicativo, y por lo tanto $1_{k^S} \in J$.

Ahora vamos a $\varphi \in I$, y deje $\psi \in k^S$ a ser definido por la $$\psi(s) = \begin{cases} \varphi(s)^{-1},&s\in S\setminus Z(\varphi)\\ 0_k,&s\in Z(\varphi)\;; \end{casos}\etiqueta{1}$$ then $h(\varphi)h(\psi) = h(\chi_{S\setminus Z(\varphi)}) = 0_k$, so $h(\varphi)=0_k$ or $h(\psi)=0_k$. Say $h(\psi)=0_k$. Then $h(\chi_{Z(\varphi)} + \psi) =$ $h(\chi_{Z(\varphi)}) + h(\psi) = 1_k$, so $h(\varphi) = h((\chi_{Z(\varphi)}+\psi)\varphi) = h(0_{k^S}+\chi_{S\setminus Z(\varphi)}) = 0_k$. Thus, $I \subseteq \ker h$. Conversely, suppose that $h(\varphi) = 0_k$. Define $\psi$ as in $(1)$. Then $h(\chi_{S\setminus Z(\varphi)}) = h(\varphi)h(\psi) = 0_k$, so $Z(\varphi) \en \mathscr{U}$, and $\varphi \I$. Thus, $I = \ker h$, and $k \cong k^S/I$.

Ahora supongamos que $|S|<|k|$, y deje $\varphi \in k^S$ inyección. Deje $\alpha = h(\varphi)$, y deje $\psi = \alpha \cdot 1_{k^S}$. A continuación,$h(\psi) = \alpha$, lo $\varphi - \psi \in \ker h = I$, y por lo tanto $Z(\varphi - \psi) \in \mathscr{U}$. Pero desde $\varphi$ es inyectiva y $\psi$ es constante, $|Z(\varphi - \psi)|\le 1$. $\varnothing \notin \mathscr{U}$, por lo $Z(\varphi - \psi) = \{s_0\}$ algunos $s_0 \in S$, e $\{s_0\} \in \mathscr{U}$. Por lo tanto, $\mathscr{U}$ que es lo principal, y $h(\varphi) = \varphi(s_0)$ por cada $\varphi \in k^S$, es decir, $h = \mathrm{pr}_{s_0}$.