Para $\mathbb{R}$ ¿toda cubierta abierta tiene una subcubierta "contable"?

Question

Estoy leyendo teoría introductoria sobre Heine-Borel donde la afirmación equivalente a "un conjunto $E$ contenida en $\mathbb{R}$ es compacta" (cerrada y acotada) es que "toda cubierta abierta para $E$ tiene una subcubierta finita". Aquí dan un ejemplo de cómo un conjunto abierto $A$ no puede tienen una subcubierta finita:

Considere $A$ el intervalo abierto $(0,1)$ . Entonces, para cada punto $x$ en $(0,1)$ consideremos la colección infinita de conjuntos $O_x = \{(\frac{x}{2},1) : x \in (0,1)\}$ cuya unión sirve de tapadera abierta para $(0,1)$ . Pero es imposible encontrar una subcubierta finita para $O_x$ porque para cualquier valor mínimo de $x$ en $(0,1)$ podemos encontrar $0 \le y \le \frac{x}{2}$ donde $y$ no está contenido en la unión finita de conjuntos.

Supongo que esta debilidad radica en el hecho de que debido a la densidad de números naturales en $\mathbb{R}$ siempre podemos encontrar $y$ menor que $\frac{x}{2}$ y, por tanto, un finito unión de conjuntos es insuficiente.

Pero ¿y si tuviéramos una unión contable de conjuntos, con la misma cardinalidad que la de los números naturales? Entonces, en $\mathbb{R}$ ¿debe toda cubierta abierta tener una subcubierta "contable"?

Answer 1

La respuesta a su pregunta es sí, de forma contundente.

La observación clave es que la topología en $\mathbb{R}$ es generados contablemente - existe un conjunto contable $\{U_i: i\in\mathbb{N}\}$ de conjuntos abiertos tal que cualquier conjunto abierto $V$ es una unión de $U_i$ s. (Tome el $U_i$ s son los intervalos abiertos con puntos finales racionales .) Llámelos aperturas básicas .

Supongamos $X\subseteq\mathbb{R}$ y $\mathcal{C}=\{C_j: j\in J\}$ es una cubierta abierta de $X$ . Sea $$K=\{i: U_i\subseteq C_j\mbox{ for some $ j\in J $}\}$$ sea el conjunto de (índices de) aperturas básicas contenidas en elementos de $C_j$ . $K$ es contable, así que podemos darle la vuelta: para cada $i\in K$ , dejemos que $D_i$ sea algún elemento de $\mathcal{C}$ con $U_i\subseteq D_i$ .

Hay un número contable de $D_i$ s, y es fácil ver que $\bigcup D_i=\bigcup \mathcal{C}$ por lo que forman una subcubierta contable de $X$ . Esto demuestra que cualquier subconjunto de $\mathbb{R}$ tiene la propiedad de subcubierta contable. En terminología topológica, la topología habitual sobre $\mathbb{R}$ es hereditario Lindelof y en la prueba anterior se utilizó el hecho de que $\mathbb{R}$ es segundo contable (la segunda contabilidad implica Lindelofness hereditaria). La segunda contabilidad es una propiedad muy fuerte, pero los espacios topológicos más comunes la tienen.

Answer 2

Correcto, toda cubierta abierta de los reales tiene una subcubierta contable. Esta propiedad se llama Lindelöf .

Para demostrarlo, tome una cubierta para $\mathbf{R}$ . Entonces sólo se necesitan finitamente muchos subconjuntos para cubrir $[-1,1]$ ya que es compacto. A continuación, tomar otro número finito de conjuntos para cubrir $[-2,2]$ y luego $[-3,3]$ etc. Así se obtiene una unión contable de conjuntos finitos y, por tanto, es contable.

Answer 3

Decimos que un espacio topológico $X$ es Lindelof si toda cubierta abierta de $X$ tiene una subcubierta contable.

Para un espacio topológico $X$ tienes

1. $X$ es segundo contable implica $X$ es Lindelof.
2. $X$ es segundo contable implica $X$ es separable.

Y si $X$ es metrizable entonces las tres propiedades anteriores son equivalentes.