Lo que usted tiene que restar de la $\binom{35}3$ son las soluciones (en enteros no negativos) en los que al menos uno de los $x_k$ supera el límite de $10$. ¿Cuántas soluciones tiene $x_1>10$? Estas son las soluciones que han $x_1\ge 11$, por lo que existe un natural bijection entre ellos y no negativo soluciones a $$y_1+y_2+y_3+y_4=21\;:$$ just let $x_1=y_1+11$ and $x_k=y_k$ for $k=2,3,4$. Thus, there are $\binom{21+4-1}{4-1}=\binom{24}3$ solutions to the original equation in which $x_1>10$. Similarly, there are $\binom{24}3$ in which $x_2>10$, $\binom{24}3$ in which $x_3>10$, and $\binom{24}3$ in which $x_4>10$, así como una segunda aproximación hay
$$\binom{35}3-4\binom{24}3\tag{1}$$
soluciones a$x_1+x_2+x_3+x_4=32$$0\le x_k\le 10$$k=1,2,3,4$.
Por desgracia, algunos de los 'malos' soluciones han restado dos veces. Específicamente, cualquier solución en la que dos de las variables que superan el límite de $10$ han restado dos veces. Por ejemplo, la solución de $11+11+10+0=32$ se resta una vez porque $x_1>10$ y una segunda vez, debido a $x_2>10$. Para compensar esta sobrecorrección, debemos añadir a $(1)$ el número de soluciones en el que dos de las variables exceder $10$.
Soluciones en las que las $x_1>10$ $x_2>10$ corresponden a los no-negativos solución a $$y_1+y_2+y_3+y_4=10\;:$$ just let $x_1=y_1+11$, $x_2=y_2+11$, $x_3=y_3$, and $x_4=y_4$. There are $\binom{10+4-1}{4-1}=\binom{13}3$ such solutions, and there are $\binom42=6$ possible pairs of variables, so we can improve the approximation $(1)$ a
$$\binom{35}3-4\binom{24}3+6\binom{13}3\;.\tag{2}$$
No hay más correcciones necesarias, ya que no es posible que más de dos de las variables que superan el límite de $10$, e $(2)$ es por lo tanto la respuesta.
La segunda pregunta requiere un truco con el fin de compensar la desigualdad: añadir una quinta variable a tomar la diferencia entre el$y_1+y_2+y_3+y_4$$183$, por lo que usted está contando entero de soluciones a
$$y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=183\tag{3}$$
que satisfacer $y_1>0$, $0<y_2\le 10$, $0\le y_3\le 17$, $0\le y_4<19$, y $y_5\ge 0$. Siguiente, tenga en cuenta que si nos vamos a $z_1=y_1-1$, $z_2=y_2-1$, y $z_k=y_k$$k=3,4,5$, soluciones a $(3)$ con sus condiciones de contorno corresponden a las soluciones para
$$z_1+z_2+z_3+z_4+z_5=181$$
la satisfacción de $z_1,z_5\ge 0$, $0\le z_2<10$, $0\le z_3<18$, y $0\le z_4<19$. Ignorando los límites superiores por un momento, tenemos como punto de partida
$$\binom{181+5-1}{5-1}=\binom{185}4$$
soluciones, pero por supuesto, algunos de ellos violar los límites superior. Vea si usted puede utilizar las ideas de la primera solución para llevar a cabo la inclusión-exclusión en el argumento que aquí se necesitan. Es un poco más complicado, porque los límites no son las mismas, y más de dos de ellos puede ser superado, pero las ideas son exactamente los mismos.
