Problema
Supongamos que $f:(a,b)\to\Bbb R$ es monótona, y $D=\left\{\,x\;\big|\;f\textrm{ is not differentiable at }x\,\right\}$. Intenta demostrar que para cada $\eta>0$, $D$ podría ser cubierto por una colección (en la mayoría de los contables) de abrir los intervalos de $\{O_n\}_{n=1}^\infty$ cuya longitud total es menor que $\eta$.
La motivación
He escuchado que es un conocido teorema de la teoría de la medida. Me pregunto si podríamos trabajar sin la teoría de la medida, donde nuestras herramientas son tan elementales, así como en el curso de cálculo.
Pensamientos
Vamos $$\varphi(x)=\limsup_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}-\liminf_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$, then $D=\left\{\,x\;\big|\;\varphi(x)>0\,\right\}$. Let $D_\varepsilon=\left\{\,x\;\big|\;\varphi(x)\ge\varepsilon\,\right\}$, we have $D=\bigcup_{n=1}^\infty D_{1/n}$, therefore it suffices to prove that $D_\varepsilon$ could be covered by a collection (at most countable) of open intervals whose total length is less than $\eta$, for each $\varepsilon,\eta>0$.
