Tal vez sería útil para acordarnos de algunas de las propiedades básicas de bases ortogonales. Vamos a suponer que el $\{|i\rangle\}$ representa una base ortogonal de un espacio vectorial $V$. Además de la condición de ortogonalidad
$$ \langle j|i\rangle=\delta_{ij} , $$
también tenemos a la integridad de la condición
$$ \sum_i |i\rangle\langle i| = {\cal I} , $$
que puede servir como una forma de resolver la identidad del operador ${\cal I}$.
Lo importante es darse cuenta de que esta no es la única base ortogonal que se puede definir para este espacio vectorial. De hecho, cualquier unitario de la operación de convertir esto en una nueva base,
$$ U|i\rangle = |m\rangle $$
y es un ejercicio simple para mostrar la esta nueva base también obedecer similar ortogonalidad y la plenitud de condiciones.
Ahora vamos a examinar este caso de un operador que es la diagonal en nuestra base inicial. Esto significa que podemos escribir este operador como
$$ A = \sum_i |i\rangle\lambda_i\langle i| . $$
¿Qué pasaría si convertimos esta expresión a la nueva base $\{|m\rangle\}$?
Para ello nos basamos en ambos lados de $A$ con la identidad se resuelve en términos de la nueva base (que veremos como alternativa denotar por cualquiera de las $|m\rangle$ o $|n\rangle$). A ver qué pasa
$$\begin{align} {\cal I}A{\cal I} &= \sum_{mni} |m\rangle\langle m|i\rangle\lambda_i\langle i|n\rangle\langle n| \\ &= \sum_{mni} |m\rangle U_{mi} \lambda_i {U^{\dagger}}_{in}\langle n| \\ &= \sum_{mn} |m\rangle B_{mn} \langle n|\,.\end{align}$$
Se espera que sea claro para ver que la matriz de
$$ B_{mn} = \sum_i U_{mi} \lambda_i {U^{\dagger}}_{in} $$
en general, no ser una matriz diagonal. En el factor, el lado derecho de la $UDU^{\dagger}$ (donde $D$ representa a una matriz diagonal) es la descomposición espectral de algunos de la matriz.
Esto también implica que si se realiza este proceso en sentido inverso, se estaría comenzando con un no-diagonal de la matriz y, a continuación, convertir a una matriz diagonal por una elección adecuada de la base. Vamos a ver cómo funciona. Supongamos que yo estoy dado normal de la matriz $M$, expresado en algunos arbitrarias $\{|a\rangle\}$. (Estoy deliberadamente el uso de diferentes símbolos aquí para evitar la confusión con lo que había antes.) De acuerdo con el teorema espectral, ahora se puede expresar como este
$$ M = U D U^{\dagger} , $$
donde $U$ es una matriz unitaria y $D$ es una matriz diagonal. Tenga en cuenta que $M$ todavía está definido en términos de la base $\{|a\rangle\}$ en los que no es diagonal. Sin embargo, podemos eliminar la central unitaria de las matrices que operan a ambos lados de la siguiente manera
$$ U^{\dagger} M U = U^{\dagger} U D U^{\dagger} U = D . $$
Así terminamos con sólo la diagonal de la matriz. En el proceso, hemos redefinido la base en la que la matriz se expresa. Esta redefinición se produce a través de la central unitaria de la matriz: $|a\rangle U = |i\rangle $$ U^{\dagger} \langle a| = \langle i|$. Por lo tanto, la central unitaria de la matriz que se necesita para diagonalize la matriz, también se convertirán en la base para el especial en el que la matriz se convierte en diagonal.
Echemos un vistazo a las preguntas explícitas:
"¿Qué significa para un operador diagonal con respecto a un
la base?"
Esto significa que, en este particular, la base de la operadora (expresado como una matriz), uno tiene cero elementos en la diagonal y sólo estos elementos representan los valores propios de la matriz. Todos los demás elementos de la matriz son cero. La frase "con respecto a la base" significa que las filas (y columnas) de la matriz están asociados con un elemento en particular en base a eso.
"¿Que significa que $M$ tiene una diagonal de la representación, como en el anterior, y,
que el uso de la especificada, la representación de la matriz de $M$ es un
diagonal de la matriz?"
Sí, de hecho, siempre que $M$ es normal en la matriz, siempre tiene una diagonal de representación. (Esto es lo que el Teorema Espectral unidos).
"Por lo tanto, es la representación de la matriz de $A$ respecto de la base
$\{|0\rangle,...,|n\rangle\}$ simplemente
diag$\{\lambda_0,...,\lambda_n\}$?"
Bueno, a condición de que esta base es la base en la que $A$ es diagonal, entonces sí, la matriz diagonal que contiene los autovalores en la diagonal.
