Campo de división del polinomio $x^4+x+1$ en $\mathbb{F}_2$ .

Question

Qué es el campo de división $\mathbb{F}_q$ del polinomio $x^4+x+1$ en $\mathbb{F}_2$ ?
Ya conocía el polinomio $x^4+x+1$ es irreducible y sus raíces son distintas en algún campo de extensión de $\mathbb{F}_2$ . Sin embargo, no estoy seguro de si el campo de división debe ser de la forma $\mathbb{F}_{2^k}$ y si el polinomio $x^4+x+1$ debe ser un divisor de $x^{2^k}-x$ .
Nota: Soy nuevo en la extensión de campo y no he aprendido sobre el grado de extensión de campo, así que por favor proporcione la explicación sin usarla.

Answer 1

El campo de división de este polinomio es $$ K=\Bbb{F}_2[x]/\langle x^4+x+1\rangle. $$ Esto se deduce de su observación de que $p(x)=x^4+x+1$ es irreducible, y del hecho de que si $\gamma=x+\langle x^4+x+1\rangle$ es un cero de ese polinomio, entonces

• Los otros ceros de $p(x)$ son $\gamma^2$ , $\gamma^4$ y $\gamma^8=\sqrt\gamma$ Así que $p(x)$ se divide en factores lineales sobre $K$ y
• Todos los elementos no nulos de $K$ son en realidad potencias de $\gamma$ Así que ningún campo más pequeño servirá.

Estos hechos pueden ser vistos desde los primeros principios como sigue:

• Sabemos que $p(\gamma)=\gamma^4+\gamma+1=0$ . Elevando al cuadrado esta ecuación utilizando la fórmula del binomio y el hecho de que $2=0$ en $K$ obtenemos $$0=\gamma^8+\gamma^2+1+2\cdot\text{something}=\gamma^8+\gamma^2+1=p(\gamma^2).$$ La repetición de esto demuestra que $\gamma^4$ y $\gamma^8$ también son ceros de $p(x)$ . Este truco suele llamarse, de forma jocosa, "el El sueño de un novato porque todos hemos conocido a principiantes que quieren elevar al cuadrado binomios como $(a+b)^2=a^2+b^2$ - una fórmula que sólo funciona en un anillo conmutativo de característica dos.
• El otro hecho que hice como la sección media de esta respuesta me preparé para referencias como esta . Ves que denoto el campo $K$ por $\Bbb{F}_{16}$ allí.

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Observaciones (y/o extras)

• La segunda parte podría, de hecho, deducirse más fácilmente utilizando hechos básicos sobre los grados de las extensiones de campo. Porque $p(x)$ tiene grado cuatro, podemos deducir que $K$ es un espacio de cuatro dimensiones sobre $\Bbb{F}_2$ .
• El truco del sueño del novato funciona en todos los campos finitos. Implica que al unir una sola raíz de un polinomio irreducible siempre se obtienen automáticamente las demás raíces. Este hecho es especial para los campos finitos. Seguro que has visto ejemplos de polinomios irreducibles sobre $\Bbb{Q}$ donde esto no ocurre. $x^3-2$ es el ejemplo estándar de este fenómeno. El mismo hecho puede reformularse como Todas las extensiones finitas de campos finitos son extensiones de Galois. Pero parece que aún no has oído hablar del concepto de extensión de Galois.
• Tenemos, en efecto, que $p(x)=x^{16}+x$ . Ver esta pregunta para los demás factores y algunos detalles más.

Answer 2

tienes razón sobre la forma del polinomio y el tamaño del campo. deja $a$ sea una raíz de $x^4+x+1$ y encontrar su orden multiplicativo. se obtiene $a,a^2,a^3,a^4=a+1,a^5=a^2+a,\ldots,a^{15}=1.$ por lo que el orden es 15, todos estos elementos son distintos y por lo tanto $F_{2^4}$ es el campo de división.