La formulación es complicada, pero la respuesta puede ser algún uso inteligente de la partición de la unidad, porque localmente la respuesta viene dada por el teorema del valor regular y todo el problema es pegarlo a una cosa global. De todos modos, no sé cómo hacerlo.
Introducción
El teorema de Ehresmann generaliza el teorema del valor regular. Afirma que existe un difeomorfismo natural $$f^{-1}(B_n) \simeq B_n \times f^{-1}(n),$$ donde $n$ es un valor regular de $f$ , $B_n$ es su vecindad suficientemente pequeña y $f$ es un mapa propio suave entre variedades $f\colon M\to N$ (propio = la preimagen de un conjunto compacto es compacta). Podemos limitarnos al caso en que $M$ es compacto - entonces $f$ es siempre adecuado.
Podemos generalizarlo fácilmente al caso en el que tomamos la preimagen de (una vecindad de) una submanifold lisa $V$ de $N$ en lugar de un único punto $n\in N$ suponiendo que el haz normal a él es trivial: por el teorema de la vecindad tubular podemos encontrar una vecindad de $V$ difeomorfo a $V\times B$ (donde $B$ es una bola en el haz normal), y deducimos la afirmación aplicando el teorema a la composición $\pi_{_B} \circ f$ , donde $\pi_{_B}$ es la proyección $V\times B\to B$ .
Quiero preguntar si este difeomorfismo puede ser natural de alguna manera y si el teorema puede ser generalizado a haces no triviales.
Pregunta
Para formular la pregunta correctamente, veamos los paquetes normales $\def\N{\mathcal N} \N$ . Podemos ver que $$\pi_{\N(V)}\circ f_*:\N(f^{-1}(V))\to \N(V)$$ establece un isomorfismo de fibra de los haces (donde $\pi_{\N(V)}$ es la proyección ortogonal $TN\to \N(V)$ ) y por lo tanto podemos pensar en $\N(f^{-1}(V))$ como retroceso de $\N(V)$ . Ya que por el nbhd thm tubular los haces normales son difeomorfos con las respectivas vecindades, $f^{-1}(U)$ es una especie de pullback, pero tenemos que pasar por los haces normales y los mapas tangentes para ver esto. La cuestión es si podemos representarlo como un pullback naturalmente con respecto a $f$ (no $f_*$ ). Formalmente:
¿Podemos encontrar tales difeomorfismos $\N(f^{-1}(V))\overset{d_M}\to f^{-1}(U)$ y $\N(V)\overset{d_N}\to U$ que la composición: $c = d_N^{-1} \circ f \circ d_M$ es "fiberwise"; es decir, es un difeomorfismo en las fibras: $\N_{w}(f^{-1}(V)) \to \N_{f(w)}(V)$ para cada $w\in f^{-1}(V)$ (no necesariamente igual a $\pi_{\N(V)}\circ f_*$ ).
Actualización: Creo que la proyección ortogonal $\pi_{\N(V)}$ en la fórmula anterior que establece el pullback puede omitirse si elegimos el producto escalar apropiado en $TM$ (dividir $T_{f^{-1}(V)}M$ en subespacios ortogonales [con respecto a cualquier producto escalar]: $\mathrm{ker} f_* \oplus W$ y observar que $W$ es isomorfo a $T_{V}N$ por $f_*$ por lo que basta con sacar el producto escalar de $TN$ a $V$ ). ¿Sirve de algo?
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¿Podría aclarar su pregunta? Pides una generalización, pero no indicas específicamente cuál consideras que es el teorema original. ¿Podría indicar en qué generalidad conoce el teorema de Ehresmann y en qué dirección (si es que hay alguna) le gustaría generalizarlo? ¿Hay alguna razón específica por la que estés buscando dicho teorema?
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@RyanBudney Describo lo que quiero decir con el thm de Ehresmann en el primer párrafo de la introducción. El segundo párrafo de la introducción es un poco informal, pero esboza la dirección que quiero seguir. Haz normal a la imagen inversa de un submanifold $V$ [asumiendo que $f$ es localmente sumergible <probablemente transversal a $V$ también es suficiente>] es un pullback a través de $f_*$ del haz normal a $V$ . Me pregunto si existen tales difeomorfismos entre los haces normales y las respectivas vecindades de $V$ y $f^{-1}(V)$ que la vecindad de $f^{-1}(V)$ es un retroceso a través de $f$ .
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En el caso simple descrito en el segundo párrafo de la introducción, solicito tales trivializaciones de los barrios de $f^{-1}(V)$ y $V$ como $B\times f^{-1}(V)$ y $B\times V$ respectivamente que $f$ puede describirse como un mapa $f(b,m)=(b,g(m))$ . P.D. No hay ninguna razón específica para la pregunta, sólo curiosidad y la sensación de que debe ser cierto.