Demostrar que $\frac{(\sin 20^\circ + \cos 20^\circ)^2}{\cos 40^\circ} = \cot 25^\circ$

Question

Así que estoy tratando de encontrar una respuesta a esta pregunta por horas ahora. No sé qué estoy haciendo mal y ninguno de los calculadores en el internet podía ayudar, así que pensé que debería pedir a la gente.

Lo que he hecho hasta ahora:

$\frac{(\sin 20^\circ + \cos 20^\circ)^2}{\cos 40^\circ} = \frac{(\frac{2\sin(45^\circ+20^\circ)}{\sqrt{2}})^2}{\cos 40^\circ} = \frac{\sin^2 65^\circ}{\cos 40^\circ} = \frac{1 - \cos 130^\circ}{\cos 40^\circ} = \frac{1 + \cos 50^\circ}{\cos 40^\circ} = \frac{2\cos^2 25^\circ}{\cos 40^\circ}$ ... etc.

Me parece que no puede averiguar a dónde ir desde aquí, así que estoy atrapado.

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También probé el enfoque clásico:

$\frac{(\sin 20^\circ + \cos 20^\circ)^2}{\cos 40^\circ} = \frac{1 + \sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} = \frac{1}{\cos 40^\circ} + {\tan 40^\circ} = \sec 40^\circ + \tan 40^\circ$

Pero, ¿cómo puedo demostrar que

$\sec 40^\circ + \tan 40^\circ = \cot 25^\circ$ ?

¿Qué estoy haciendo mal? Cualquier sugerencias o soluciones sería genial. Gracias de antemano.

Answer 1

Observe que $\cos 40 =\sin 50$$ \sin 40 = \sin 50$. Así tenemos \begin{eqnarray*} \frac{1+\sin 40}{ \cos 40} = \frac{1+\cos(50)}{\sin 50} \end{eqnarray*} No utilizar el doble ángulo de formulea $ \sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$$ cos 2 \alpha =2 \cos^2 \alpha -1$. Así \begin{eqnarray*} \frac{1+\cos(50)}{\sin 50} = \frac{1+2 \cos^2 25 -1}{2 \sin 25 \cos 25 } = \frac{\cos 25}{\sin 25} = \color{red}{ \cot 25}. \end{eqnarray*}

Answer 2

La expansión de la plaza, el uso de la relación de $2 \sin a \cos a= \sin 2a$ y la definición de $\cot$, tenemos que demostrar que

$$\frac{[(\sin20^\circ)^2 + (\cos20^\circ)^2] + \sin 40^\circ}{\cos40^\circ} = \dfrac{\cos25^\circ}{\sin25^\circ}$$

Como el contenido de los corchetes es 1, es equivalente a demostrar que :

$$\sin25^\circ + \sin25^\circ \sin 40^\circ=\cos40^\circ\cos25^\circ$$ o

$$\sin25^\circ =\cos40^\circ\cos25^\circ - \sin25^\circ \sin 40^\circ$$

o $$\sin25^\circ =\cos(40^\circ+25^\circ)$$

o $$\sin25^\circ =\cos(90^\circ-65^\circ)$$

lo cual es evidentemente cierto.

Answer 3

Generalización:

$$\dfrac{(\cos x+\sin x)^2}{\cos2x}=\dfrac{(\cos x+\sin x)^2}{\cos^2x-\sin^2x}=\dfrac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}$$ provided $\cos x+\sin x\ne0\ffi\tan x\ne-1$

Ahora $$\dfrac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}=\dfrac{1+\tan x}{1-\tan x}=\tan\left(45^\circ+x\right)$$

Puede usted identificar la $x$ aquí?

Alternativamente, $$\dfrac{(\cos x+\sin x)^2}{\cos2x}=\dfrac{1+\sin2x}{\cos2x}=\dfrac{1+\dfrac{2\tan x}{1+\tan^2x}}{\dfrac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x}}=\cdots=\dfrac{1+\tan x}{1-\tan x}=\cdots$$