Posible vinculación al generador en términos del semigrupo que genera?

Question

Supongamos que$T$ es un$C_0$ - semigrupo con$\omega \in \mathbb{R}$ y$M \geq 0$ de manera que $$\| T(t) \| \leq M e^{\omega t}.$$ Let $A$ be the generator for $T$ and let $\ xi_1, ..., \ xi_n> 0$ be constants. I want to get some form of a bound of $\ | (\ xi_1 \ cdots \ xi_n) ^ {- 1} (\ xi_1 ^ {- 1} - A) ^ {- 1} \ cdots (\ xi_n ^ {- 1} - A) ^ {- 1} \ |$ in terms of $T$. I've attempted the following. \ | (\ xi_1 \ cdots \ xi_n) ^ {- 1} (\ xi_1 ^ {- 1} - A) ^ {- 1} \ cdots (\ xi_n ^ {- 1} - A) ^ {- 1} \ | \ leq \ frac {1} {\ xi_1 \ cdots \ xi_n} \ prod_ {i = 1} ^ n \ | (\ xi_i - A) ^ {- 1} \ | \\ \ leq \ frac {1} {\ xi_1 \ cdots \ xi_n} \ prod_ {i = 1} ^ n \ frac {M} {\ text {Re} (\ xi_i ^ {- 1}) - \ omega} $$ Can I get this to be less than the supremum of $T$?

Answer 1

No es una respuesta completa, pero demasiado largo para ser publicado como un comentario.

1. Usted tiene un operador $A$ que es el generador infinitesimal de una $C_0$-semigroup $T=\{T(t)\}$ satisfactorio $$\|T(t)\|\leq Me^{\omega t}$$ para$\omega\in\mathbb R$$M\geq 0$.

2. Usted desea conseguir un obligado para $\left\|\prod \xi_i^{-1}(\xi_i^{-1}-A)^{-1}\right\|$ donde $\xi_1,...,\xi_n$ son arbitrarias constantes positivas.

Dado que sólo las informaciones en 1, ni siquiera puedo ver cómo asegurarse de que $(\xi_i^{-1}-A)$ es invertible para arbitrario $\xi_i>0$. Así que, voy a considerar un extra de hipótesis:

Suponga que $\omega\leq 0$.

Nota. Esta hipótesis no es totalmente restrictiva. Hay casos importantes en los que se ha cumplido, por ejemplo, si $T$ es de contracciones o exponencialmente estable (pero no tengo idea de si es relevante para usted).

Bajo este supuesto, la Feller-Miyadera-Phillips Teorema implica que $(0,\infty)\subset \rho (A)$ con $$\|(\lambda-A)^{-1}\|\leq \frac{M}{\lambda-\omega},\quad\forall \ \lambda>0$$

y así, como en su cálculo, se obtiene la envolvente de

$$\left\|\prod \xi_i^{-1}(\xi_i^{-1})^{-1}\right\| \leq \prod \xi_i^{-1}\left\| (\xi_i^{-1})^{-1}\right\| \leq \prod \xi_i^{-1}\frac{M}{\xi_i^{-1}-\omega} = \prod \frac{M}{1-\xi_i\omega}\leq M^n.$$

Observación. El punto principal del argumento anterior es que $\xi_i>0$ (como quieras) y $\omega\leq 0$ (como se supone) implican $\xi_i^{-1}>\omega$, y esto hace posible aplicar el Feller-Miyadera-Phillips Teorema. Así, el cálculo anterior es válido siempre que $\xi_1^{-1},...,\xi_n^{-1}>\omega$ (lo que ocurre para arbitrario $\xi_1,...,\xi_n>0$ si $T$ es de contracción o exponencialmente estable, como ya he dicho).