La prueba de que $\langle x, y\rangle = x \cdot A \cdot y^{*}$ es un producto interior.

Question

En Spence del Álgebra Lineal, la 4ta Edición del libro, hay un ejercicio en el capítulo 6, que pide la prueba de que $\langle x, y\rangle = x \cdot A \cdot y^{*}$ es un producto interior en $\mathbf{C}^{2}$, con: $$A = \begin{bmatrix} 1 & i \\ -i & 2 \\ \end{bmatrix}$$

No sé si hay una manera más fácil y rápida para solucionar esto, pero básicamente lo que hago es probar estas cuatro frases, donde$x,y,z \in \mathbf{C}^{2}$$\alpha \in \mathbf{C}$:

1. $\langle x + z , y \rangle = \langle x , y \rangle + \langle z , y \rangle$
2. $\langle \alpha.x, y \rangle = \alpha.\langle x , y \rangle$
3. $\langle x, y \rangle = \overline{\langle y , x \rangle}$
4. $\langle x, x \rangle \gt 0 \; \text{if} \; x \neq 0$

pero estoy atascado en el tercer punto. Aquí está lo que he probado hasta ahora:

$\langle x, y\rangle = x \cdot A \cdot y^{*} = \overline{\overline{x \cdot A \cdot y^{*}}} = \overline{\overline{x} \cdot \overline{A} \cdot \overline{y^{*}}} = \overline{\overline{x} \cdot \overline{A} \cdot y^{T}} = \overline{ (y \cdot A^{*} \cdot x^{*})^{T}} = \overline{ (y \cdot A \cdot x^{*})^{T}} = \; ? = \overline{ y \cdot A \cdot x^{*}} = \overline{\langle y, x\rangle}$

He utilizado el hecho de que $(ABC)^T = C^T B^T A^T$ $A = A^{*}$ para este problema en particular.

Answer 1

Tenga en cuenta que $y \cdot A \cdot x^*$ es un escalar. Por lo tanto, $(y \cdot A \cdot x^*)^T = y \cdot A \cdot x^*$.

Esto justifica el paso que han marcado con "$?$".