La ecuación de ondas con velocidad variable coeficiente

Question

Considere la ecuación de onda inicial del problema de valor en $\mathbb R^3$ con espacialmente variable de la velocidad de la onda, que se denota por

\begin{align*} \frac{\partial^2}{\partial t^2}u(x,t)-c^2(x)\Delta u(x,t)&=0\hspace{.2in}\text{in }\mathbb R^3\times(0,\infty),\\ u(x,0)&=f(x),\\\frac{\partial}{\partial t}u(x,0)&=g(x). \end{align*}

Mi pregunta: ¿hay una forma explícita de escribir una solución similar a la de Kirchhoff de la fórmula para el caso de velocidad constante $c(x)=c_0$?

Intuitivly, yo esperaría que la solución de $u(x_0,t_0)$ fijo en el tiempo y el espacio dependen de los valores de la esférica integrales de $f$ $g$ como en la constante de velocidad de los casos, pero en un sonido-velocidad dependiente de la métrica.

Esto está relacionado con una pregunta similar sobre una ecuación de ondas en 1 dimensión: la propagación de la Onda con la variable de velocidad de la onda

Answer 1

Existe una extensa literatura sobre las ecuaciones de onda con la variable de los coeficientes, que son equivalentes a las ecuaciones de onda en el espacio-tiempo curvo - como en la monografía por Friendlander. Dependiendo de lo que usted está dispuesto a aceptar como 'explícito', la respuesta es que sí, hay un explícito generalización de la integral de Kirchhoff. Sin embargo, es muy difícil calcular los coeficientes de los datos de $f,g$ en esta integral, los cuales son determinados por el retraso función de Green $G_R$ de la onda operador: $$\square = \partial_t^2 - c(x)\Delta.$$ This Green function is intimately related to the geometry of the spacetime with line element $ds^2=dt^2-c(x)d\vec{x}\cdot d\vec{x}$. In order to calculate $G_R$, you essentially need to fully solve the geodesic equations obtained by extremising the action $\int ds$.

El retraso de la función de Green satisface $$ \square G_R(t,x;t',x')=-4\pi\delta_4(t,x;t',x'),$$ where $\delta_4$ is the 4-dimensional Dirac distribution. Then the generalized Kirchhoff formula allows us to explicitly write down the value of a solution $\Psi$ of the wave equation at a point $(t,x)$ to the future of an initial data hypersurface $\Sigma^\prime=\{(t',x'):x'\in\mathbb{R}^3\}$:

$$ \Psi(t,x)=-\frac{1}{4\pi}\int_{\Sigma^\prime}(G_R(t,x;t',x')g(x')-f(x')\partial_{t'}G_R(t,x;t',x'))d\Sigma^\prime,$$

donde $d\Sigma^\prime=c^{3/2}(x')d_3x'$ es el elemento de volumen en $\Sigma^\prime$.

Estas cosas (de la función de Green, las ondas en el espacio-tiempo curvo) son de gran interés en la Relatividad General, y el GR de la literatura es un buen lugar para ver más detalles. En particular, yo recomiendo empezar con la de Poisson de Vida de Revisión artículo que cubre el geométrica de fondo en un muy legible. Usted puede encontrar los detalles aquí (y en las citas) sobre cómo calcular el $G_R$, el cual es requerido por las aplicaciones prácticas de la Kirchhoff fórmula.