¿Existe un espacio métrico conectado $X$ tal que para cada subconjunto conectado $A$ de $X$, $X \setminus A$ sea en ninguna parte denso en $X?

Question

¿Existe un espacio métrico conectado $X$ (con más de un punto) tal que para todo subconjunto conectado $A$ (con más de un punto) de $X$, $X \setminus A$ es en ningún lugar denso en $X$, es decir, $ \operatorname{int}\left( \overline {X \setminus A}\right)=\emptyset$?

Answer 1

Sí, uno puede ser construido como un subespacio de un continuo métrico indecomponible, como el continuo manija cubeta. Ver Swingle: Dos Tipos de Conjuntos Conexos para la construcción estándar.

Consulte la definición al principio, y la construcción en el Teorema 1.

Answer 2

Parece haber un conjunto así, pero debe tener algunas propiedades.

Los requisitos de ese conjunto es que los conjuntos conectados deben ser o "grandes" o triviales. Sea $D(T)$ el diámetro de un conjunto no vacío en $X$ (que puede ser infinito) si hay un conjunto conectado $A$ tal que $10$ y por lo tanto hay un conjunto abierto que rodea a $b$ que no intersecta a $A$, lo que significa que $X\setminus A$ no es en ningún lugar denso.

Si, por ejemplo, $X$ es débilmente localmente conexo podríamos construir un conjunto $A$ así. Si se cumple el criterio de débilmente localmente conexo para $a$ entonces podemos simplemente formar una bola abierta con radio $D(X)/3$ que contendrá un subconjunto conectado $A$ y $D(A)\le 2D(X)/3.