La integración por partes dos veces da como resultado $0=0$ ?

Question

Tenía esta pregunta: $$\int 3x\sec^2(4x) dx$$

Después de hacer la integración por partes por primera vez, se establece $u=3x$ y $dv=\sec^2(4x)dx$ y haciendo la derivada y la integral, obtuve $$\int 3x\sec^2(4x) dx = \frac{3}{4}x\tan(4x)-\frac{3}{4}\int \tan(4x) dx$$

En este punto, me doy cuenta de que puedo resolver el $\tan(4x)$ utilizando $u$ -sustitución, pero sigo haciendo la integración por partes.

Para $$\int \tan(4x) dx$$ Sustituyo $u=\tan(4x)$ y $dv=1dx$ $$\int \tan(4x) dx = \tan(4x)\cdot x - \int x\cdot 4\sec^2(4x)dx$$

Sustituyendo todo de nuevo, obtengo $$\int 3x\sec^2(4x) dx = \frac{3}{4}x\tan(4x) - \frac{3}{4}\left(\tan(4x)\cdot x -\int x\cdot 4\sec^2(4x)dx\right)$$

Distribuir el $3/4$ y simplificando, obtengo $0=0$ - esa no es la respuesta. No creo que haya roto ninguna regla utilizando la integración por partes, pero la respuesta no es válida. ¿Por qué no funciona?

Gracias.

Answer 1

Has demostrado que tu integral es igual a sí misma. Esta es una afirmación verdadera. No es algo útil, pero la fórmula de integración por partes no viene con la garantía de que producirá algo útil.

En general, si aplicamos la integración por partes dos veces, siempre podremos volver al punto de partida:

$$ \int u \, dv = uv - \int v \, du = uv - \left(uv - \int u \,dv\right)=\int u \, dv $$

Esto es esencialmente lo que acabas de hacer. El $u$ en su segunda integración por partes es igual al $v$ en la primera, y viceversa.