¿Cómo puedo resolver correctamente $ \sqrt { x - 6 } - \sqrt { 10 - x } \geq 1 $ ?

Question

$ \sqrt { x - 6 } - \sqrt { 10 - x } \geq 1 $

Mi solución :

$x$ $\in$ $ [ 6 , 10 ] $ para que ambas expresiones bajo raíz cuadrada sean válidas .

Ahora

$$ \sqrt {x-6} > \sqrt { 10 - x } $$ ya que su dif. es positiva.

Lo que significa que x pertenece a [ 8 , 10 ] .

Ahora

$$ x - 6 + 10 - x -2 \sqrt { -x^2 + 16x -60 } \geq 1 $$

$$ \implies 4x^2 - 64x + 249 \geq 0 $$

$$ \implies x \in [{{16 + \sqrt 7 }\over 2 } , 10 ] $$

Pero la respuesta es

$$ [{{16 + \sqrt 7 }\over 2} , 0 ] $$

¿Quién está equivocado, yo o el libro?

Answer 1

Otra prueba de que tienes razón y de que el libro está equivocado.

Considere la función $$f(x)=\sqrt { x - 6 } - \sqrt { 10 - x }-1$$ que se define para $6\leq x \leq 10$ . Siendo su primera derivada $$f'(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x-6}}+\frac{1}{2 \sqrt{10-x}}$$ siempre es positivo en el intervalo .

Así que.., $f(x)$ es creciente y sólo tiene una raíz en el intervalo (llamémosla $x_*$ ). Para cualquier $x > x_*$ perteneciente al intervalo, se cumplirá la desigualdad.

Has encontrado correctamente el valor de la raíz.