¿Cómo podemos cuña el complejo diferenciales $\mathrm{d}z^i$$\mathrm{d}\bar z^{\bar j}$?

Question

Por la definición estándar de la cuña de un producto de alternaban producto tensor, yo creo que tenemos $$\tag{1}\mathrm{d}z^i\wedge\mathrm{d}\bar z^{\bar j}=\mathrm{d}z^i\otimes\mathrm{d}\bar z^{\bar j}-\mathrm{d}\bar z^{\bar j}\otimes\mathrm{d}z^i$$ Como yo lo entiendo, el lado izquierdo debe ser una sección de exterior álgebra $\Lambda^{1,1}M$. Sin embargo, en las notas de la conferencia que estoy leyendo (arXiv), exterior álgebra se define en la página 10 como $$\Lambda^{1,1}M:=\Lambda^1T^*M\otimes\Lambda^1\bar T^*M$$ donde $T^*M$ es el holomorphic la cotangente y paquete de $\bar T^*M$ su antiholomorphic contraparte. Por la inspección, sin embargo, la rhs. de (1) no puede ser que una parte de este espacio del producto, debido a que el primer término es una sección de $\Lambda^1T^*M\otimes\Lambda^1\bar T^*M$, el segundo factor de una sección de $\Lambda^1\bar T^*M\otimes\Lambda^1 T^*M$ y el producto tensor en general no es conmutativa.

Entonces, ¿cómo es esto en realidad? Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Ref. 1 escribe en la página.10:

$$ \Lambda^k T^{\ast}_{\mathbb{C}} M ~=~ \bigoplus_{j=0}^k \Lambda^{j,k-j} M,\etiqueta{1.11}$$ donde hemos definido $$\Lambda^{p,q} M ~:=~ \Lambda^pT^{*(1,0)}M\otimes\Lambda^{q}T^{*(0,1)}M.\tag{1.11b}$$

Aquí $M$ $2n$- dimensiones reales del colector con una estructura compleja $J$; el símbolo $\otimes$ indica la norma (onu-antisymmetrized) producto tensor $\mathbb{C}$; el símbolo $\wedge$ denota la antisymmetrized tensor de producto/producto exterior/exterior producto de más de $\mathbb{C}$; y $T^{\ast}_{\mathbb{C}} M:=\mathbb{C}\otimes T^{\ast} M$ es el complexified la cotangente del espacio.

OP consiguió un punto que sería más natural para definir

$$\Lambda^{p,q} M ~:=~ \Lambda^pT^{*(1,0)}M\wedge\Lambda^{q}T^{*(0,1)}M~:=~\Phi(\Lambda^pT^{*(1,0)}M\otimes\Lambda^{q}T^{*(0,1)}M) ~\subset~ \Lambda^{\bullet} T^{\ast}_{\mathbb{C}} M \tag{*}$$

en lugar de la definición (1.11 b). Aquí la definición de (*) es canónicamente isomorfo a la definición de (1.11 b). Explícitamente, el isomorfismo canónico $\Phi$ lee

$$\sum_i\eta_i \otimes \bar{\omega}_i\quad\stackrel{\Phi}\mapsto\quad\sum_i\eta_i \wedge \bar{\omega}_i\tag{**}, \qquad \eta_i~\in~\Lambda^pT^{*(1,0)}M,\qquad \bar{\omega}_i~\in~\Lambda^{q}T^{*(0,1)}M, $$

el uso de una suerte claro notación.

Ejemplo:

$$\mathrm{d}z^i\otimes\mathrm{d}\bar{z}^{\bar{\jmath}}~\stackrel{\Phi}\mapsto~$$ $$ \mathrm{d}z^i\wedge\mathrm{d}\bar{z}^{\bar{\jmath}} ~=~\frac{1}{2}\left(\mathrm{d}z^i\wedge\mathrm{d}\bar{z}^{\bar{\jmath}} -\mathrm{d}\bar{z}^{\bar{\jmath}}\wedge\mathrm{d}z^i\right) ~=~-\mathrm{d}\bar{z}^{\bar{\jmath}}\wedge\mathrm{d}z^i~\~\Lambda^{\bullet} T^{\ast}_{\mathbb{C}} M .\la etiqueta{***} $$

Alternativamente, si se utiliza la definición de (1.11 b), entonces la igualdad símbolo "$=$" en la ecuación. (1.11) debe ser interpretado como un isomophism símbolo "$\cong$".

Referencias:

1. V. Bouchard, Conferencias sobre geometría compleja, Calabi-Yau colectores y tóricas de la geometría, arXiv:hep-th/0702063.