¿Cómo puedo probar esta afirmación acerca de surjectivity y $\mathbb{R}$?

Question

Tengo que probar lo siguiente:

Supongamos que $X$,$Y$ son subconjuntos de a $\mathbb{R}$ tal que no es $f:X \to \mathbb{R}$ que es surjective y no es $g:Y\to \mathbb{R}$ que es surjective. Demostrar que no se $h:X \cup Y \to \mathbb{R}$ que es surjective.

Parece trivial, pero no puedo averiguar cómo demostrarlo. ¿Alguien tiene una sugerencia? Gracias!

Answer 1

Aquí es una elección libre de argumento: usamos ese $\mathbb R$ es en bijection con su plaza, y por lo tanto podemos suponer que $\pi:A\cup B\to\mathbb R^2$ a, y la necesidad de producir un surjection de cualquiera de las $A$ o $B$ a $\mathbb R$. Empezar por definir $\sigma:A\to\mathbb R$ $\sigma(a)=x$ fib para algunos $y$, $\pi(a)=(x,y)$. Si este mapa no es a, y $x_0$ no está en el intervalo, entonces siempre $\pi(b)=(x_0, y)$ algunos $y$, necesariamente,$b\in B$. En consecuencia, definen $\rho:B\to\mathbb R$ $\rho(b)=0$ menos para algunos $y$, $\pi(b)=(x_0,y)$, en el que caso de $\rho (b)=y$. Este mapa es sobre.