¿Qué pasa con $\exp((\log x)(\log y))$ ?

Question

¿Es algo interesante conocido sobre la operación binaria $$ x\circ y = \exp_b((\log_b x)(\log_b y)) $$ donde $0<b\ne 1$ ?

Es claramente conmutativo y asociativo, y satisface $\forall x\in \mathbb R^+$ , $x\circ b=x$ . En un sentido es obviamente equivalente a la multiplicación por lo que no se puede decir nada interesante después de que se haya dicho todo sobre la multiplicación, pero entonces podemos preguntarnos si hay algo interesante que decir sobre esto camino de incrustar una estructura isomorfa a $(\mathbb R^+,\times)$ en la línea. En particular, tenemos (como señalé ayer en otro hilo de este foro) $$ \log_{{}\,p \,\circ\, q\,\circ\, r\,\circ\,\cdots} (w\circ x\circ y\circ\cdots) = (\log_{{}\,p} w)(\log_{{}\,q} x)(\log_{{}\,r} y)\cdots. $$

Sé que he visto surgir esta función en cosas rutinarias, pero no recuerdo nada en concreto. Así que una pregunta es: ¿en qué contextos surge esta operación de forma natural?

Answer 1

Bien, creo que tengo algo interesante que decir. Me acordé de un ejercicio que di en mi curso de Álgebra Lineal que pedía a los alumnos que demostraran que existe una transformación lineal que toma $(\mathbb{R}, +)$ a $(\mathbb{R}^+, \cdot)$ donde este último se considera un espacio vectorial bajo la operación binaria $\cdot$ con la "multiplicación" escalar $c.x = x^c$ . La transformación lineal es $x \mapsto e^x$ .

Ahora considere la aplicación de esa misma transformación $e^x$ de $\mathbb{R}^+$ a $\mathbb{R}^{>1}$ . Afirmo que es un isomorfismo de espacio vectorial $(\mathbb{R}^+, \cdot) \to (\mathbb{R}^{>1}, \circ)$ donde la multiplicación escalar es:

$$ c.x = \exp( (\log x)^c).$$

[Por supuesto, me estoy especializando en $b=e$ pero los resultados son los mismos para cualquier $b$ ]