Puede un cubo siempre se colocarán en la proyección de un cubo?

Question

Si proyectamos la unidad de cubo, es decir, un eje paralelo cubo con lado de longitud 1 centrada en el origen, en $\mathbb{R}^n$ a una $k$-dimensiones subespacio de $\mathbb{R}^n$ que contiene el origen, podemos siempre encaja en un $k$-dimensional del cubo de lado de longitud 1 en la proyección?

Answer 1

Esto, desafortunadamente, no es una "completa" la respuesta, pero no habrá espacio suficiente para mí para ello en los comentarios, y al menos, es una respuesta parcial...en primer lugar, permítanme establecen los límites aquí: voy a proporcionar un esquema para una prueba de que una unidad k-dimensional hipercubo siempre encajan en una proyección ORTOGONAL de un n-dimensional hipercubo en un k-dimensional en el subespacio. Y yo voy a ser suponiendo que la norma Euclidiana interior del producto/de la norma.

Así que la primera cosa a notar es que las esquinas de un hipercubo en $R^n$ es representado por un conjunto de vectores $\{(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{R}^n: x_i=1/2$ o $x_i=-1/2$ por cada $1\leq i\leq n\}$, en otras palabras todas las permutaciones posibles de $\{1/2,-1/2\}$ en los componentes del vector. Ahora para hacer el argumento más simple a seguir a partir de aquí, digamos que en lugar de trabajar con el hipercubo de lado de longitud 2 centrados en torno al origen, entonces tenemos: cada esquina está representada por los vectores que son permutaciones de $\{-1,1\}$.

Así que la prueba que tengo en mente es una inducción de la prueba. Tenemos $\mathbb{R}^n$ con un hipercubo de lado de longitud 2 centrado en el origen. Primero, considere cualquier 1-dimensional subespacio de $\mathbb{R}^n$, generado por un vector normal a $\eta$. Ahora este vector es de la forma $1/\sqrt{m}(l_1,\ldots,l_n)$ donde $m=\sum_{i=1}^nl_i^2$. Ahora bien, desde la esquina de vectores de la unidad de hipercubo se compone de todas las posibles permutaciones de $\{-1,1\}$ al menos una de las esquina de vectores (es decir $v$) es tal que $v\cdot \eta=1/\sqrt{m}\sum_{i=1}^n |l_i|$, en particular, $v$ será la esquina de vectores en los que el signo de cada componente de acuerdo con el signo de cada componente en $\eta$. Así tenemos que la proyección ortogonal de a $v$ $\eta$ \begin{equation} (v\cdot \eta)\eta=(1/\sqrt{m}\sum_{i=1}^n |l_i|)(1/\sqrt{m}(l_1,\ldots,l_n)), \end {equation} y este vector tiene norma \begin{equation} \|(v\cdot \eta)\eta\|=\sqrt{\frac{(\sum_{i=1}^n |l_i|)^2}{m}} \geq 1, \end{equation} porque por la expansión de la multinomial $(\sum_{i=1}^n |l_i|)^2 \geq \sum_{i=1}^n l_i^2$.

Ahora bien, si tomamos la esquina de vectores $v'$ de la unidad hipercubo a ser el vector tal que $v'=-v$, $(v'\cdot \eta)\eta=(-v\cdot \eta)\eta=-(v \cdot \eta)\eta$ y de ello se sigue que \begin{equation}\|(v \cdot \eta)\eta-(v'\cdot\eta)\eta\|=\|2(v \cdot \eta)\eta\|\geq 2. \end{equation} Esto significa que el 1-dimensional hipercubo de sidelength 2 se ajuste dentro de la proyección, como se requiere.

Ahora la hipótesis de inducción es que por cada $k$-dimensiones subespacio de $\mathbb{R}^n$ ($k\leq n-1$) podemos encajar un sidelength 2 $k$-dimensiones hipercubo en la proyección ortogonal de la sidelength 2 $n$-dimensiones hipercubo en este subespacio.

Ahora tomar cualquier $k+1$ dimensiones subespacio de $\mathbb{R}^n$. A partir de aquí, es sólo un esbozo de la prueba: Por ejemplo un subespacio (vamos a denotar como $W$) podemos encontrar una base ortonormales, y por consiguiente se puede escribir como una suma directa ortogonal complementa $W=W_1 \oplus W_1^{\perp}$. En particular, podemos dejar que $W_1$ ser cualquier vector en nuestros ortonormales base para $W$. Por la hipótesis de inducción tenemos que el $k$-dimensiones hipercubo en $W_1^{\perp}$ encaja en la proyección de la $n$-dimensional del cubo en el espacio, y por el mismo argumento de la $1$-dimensional del cubo encaja en la proyección de la $n$-dimensional del cubo en $W_1$.

ASÍ que AHORA, la pregunta es, si tomamos el $(k+1)$-dimensiones hipercubo construido mediante la extrusión de la $k$-dimensional del cubo en $W_1^{\perp}$ a lo largo del vector normal abarca $W_1$ (en ambas direcciones por 1 unidad), podemos entonces deducir que va a encajar en la proyección de la $n$-dimensional del cubo en $W$. Aquí es donde mi prueba no es completa...creo que llega la hora de la elección de la base ortonormales de una manera particular, es decir, que el vector que abarca $W_1$ es paralelo a leyendas del espacio de proyección de $W$ donde se cruza con el hipercubo en $\mathbb{R}^n$, pero por desgracia no tengo ninguna manera rigurosa de la definición de este, o incluso para saber si es la mejor opción. De jugando con un plano de intersección de un cubo en $\mathbb{R}^3$ en mathematica estoy bastante convencido de que a pesar de que siempre es posible hacer una selección de la base en el avión, así que esto va a funcionar...

Ahora sólo también como una btw, de jugar con una proyección oblicua de una unidad de cuadrado en el eje y con la proyección de la matriz de $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ a & 1 \end{bmatrix}$ donde $a$ es cualquier número, que en realidad parece como si la proyección ortogonal es el escenario del "peor caso"...así que creo que esto es cierto para las proyecciones oblicuas así, pero no tengo idea de cómo intentar demostrar esto.

Answer 2

No una respuesta, pero un par de observaciones de mis vagas (posiblemente errónea) de los recuerdos de los locales de la teoría:

• Ciertamente tiene el volumen suficiente para contener el cubo más pequeño. Si proyectamos $B_{\infty}^n$ sobre el hyperplane $(x_1, x_2, ...\dots, x_n)^{\perp}$$\sum x_1^2=1$, $$Vol(P_{H}B_\infty^n)=Vol(B_\infty^{n-1})\sum|x_i|\geq Vol(B_\infty^{n-1})$$

Sin embargo, no es suficiente para contener el cubo más pequeño.

• Por dualidad, podemos mirar el $B_1^n$. El balón $P_{H}B_\infty^n$ es el doble de la bola de una sección de $B_1^n$ por un hyperplane. Así que la pregunta equivalente sería: Si vamos a la sección $B_1^n$ por un hyperplane, puede que la sección de ser instalado en el interior de $B_1^{n-1}$?