Error con el uso de residuos de la teoría para el cálculo de $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}dx$

Question

En la física, debemos hacer las integrales de contorno en un no tan rigurosa de la mayoría de las veces. Ahora, quiero usar un truco para calcular $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}dx$$ el uso de residuos de la teoría. Encuentro:
$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}dx=2\pi$$which is clearly wrong since the correct value is $\pi$.

No sé qué estoy haciendo mal, pero me parece que podría tener que ver con el uso del teorema de los residuos en una torpe manera. Cualquier ayuda para encontrar el error será muy apreciada.

Mis soluciones es la siguiente(lo siento si mi notación(argumentos) es demasiado complicado(o no lo suficientemente riguroso)):
$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}dx=Im[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{x}dx]=Im[\lim_{ε\to0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{x-iε}dx]$$ which has a residue just above $x=0$ en el plano complejo.
Ahora, considere la posibilidad de la integración de las rutas:

Así, puedo escribir la integral anterior como:
$$Im[\lim_{ε\to0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{x-iε}dx]=Im[\lim_{ε\to0}\int_{C2}\frac{e^{ix}}{x-iε}dx]$$(of course $R\a$ $infinity$)
Ahora, si hemos integrado el mismo integrando, pero el camino era $C1$, sería dar a cero ya que el integrando tiende a cero para grandes $Im[x]$ sobre el plano superior(este argumento fue utilizado por un profesor de nuestra para un problema dispersión en la mecánica cuántica).
Así, podemos escribir:
$$Im[\lim_{ε\to0}\int_{C2}\frac{e^{ix}}{x-iε}dx]=Im[\lim_{ε\to0}\int_{C1+C2}\frac{e^{ix}}{x-iε}dx]$$which is an integral along a closed path that encloses the pole(residue) at $x=ie$. So, I can use the residue theorem to find that the integral is equal to: $$Im[\lim_{ε\to0}2\pi i Res(e^{i(iε)})=2\pi $$ que está claramente por un factor de 2.
Así, que de los argumentos anteriores, es malo?

Answer 1

El problema aquí es bastante sutil, hemos usado el teorema de los residuos correctamente para evaluar todo el contorno de la integral, y ha identificado correctamente que la integral sobre la $C_1$$0$$R \to \infty$. Este le dio un correcto valor de la parte imaginaria de la integral (para $\epsilon > 0$) $$\operatorname{Im}\left(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{iz}}{z - i \epsilon}d z\right) = 2\pi e^{-\epsilon}$$ el que puede confirmar aquí.

Pero, el problema sucede cuando se toma el límite de $\epsilon \to 0$, en que no hay ninguna garantía de que

$$\lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{iz}}{z - i \epsilon}d z = \int_{-\infty}^{\infty} \lim_{\epsilon \to 0} \frac{e^{iz}}{z - i \epsilon}d z$$ Aquí es donde la solución se descompone, y su discrepancia aquí es una buena demostración de cómo cambiar el orden de los límites necesita más justificación - en particular, recuerde que la integral se define como una limitante del proceso, por lo que algunos bastante fuerte continuidad argumentos serían necesarios para mostrar la izquierda y a la derecha arriba sería igual. Por supuesto, en la física, a la que estás acostumbrado asumiendo que todo es tan continua como quieras! En este caso en particular, resulta $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{iz}}{z - i \epsilon}d z$ no es continua en a $\epsilon=0$, así que aquí es donde el error es.

Answer 2

El problema es que en este caso,

$$\int_{-\infty}^\infty\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\frac{\sin x}{x-i\varepsilon}dx\ne\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin x}{x-i\varepsilon}dx.$$

El lado izquierdo es lo que usted quiere que, pero el lado derecho es lo que en realidad se calcula. Realmente, lo que encontraron fue el límite de $\varepsilon\rightarrow0^+$. Si usted, en cambio, había $\varepsilon$ enfoque de $0$ desde abajo, se habría conseguido $0$ como su respuesta. El límite en el lado izquierdo funciona de la misma si $\varepsilon$ enfoques $0$ desde la derecha o la izquierda, así que el hecho de que tenemos dos respuestas diferentes para la mano derecha inmediatamente nos dice que algo está mal.

Si bien esto no es riguroso, tenga en cuenta que la respuesta correcta es la a mitad de camino entre el $2\pi$ que se encontró para $\varepsilon\rightarrow0^+$ e las $0$ se puede obtener por $\varepsilon\rightarrow0^-$.

Answer 3

Usted no puede sustituir a $\sin(x)$ $\text{Im}\exp(ix)$ sin tomar la parte principal de la integral. Ahora, si el objetivo es encontrar una derivación distinta de la integral que evita que paso, entonces se puede proceder como sigue. Vamos entonces a palo con $\sin(x)$ un poco más de tiempo. Debido a $\frac{\sin(z)}{z}$ es libre de singularidades, podemos mover la integración de contorno por $i\epsilon$ sin problemas, por Cauchy teorema tendrá el mismo valor. En general,

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}dx = \int_{C(\epsilon)}\frac{\sin(z)}{z}dz$$

donde $C(\epsilon)$ es arbitraria en el desvío de menos a más infinito y $\epsilon$ es una medida de la magnitud de este desvío. No hay límite de $\epsilon\to 0$ debe ser considerado aquí. Después elegimos un desvío que evita el punto de $z = 0$ en algunos de manera arbitraria. Ya que estamos, a continuación, el movimiento del eje real con $\sin(z)$, que no se puede reemplazar $\sin(z)$ $\text{Im}\exp(i z)$ en este enfoque, pero podemos escribir la integral como:

$$ \int_{C(\epsilon)}\frac{\sin(z)}{z}dz = \frac{1}{2 i}\int_{C(\epsilon)}\frac{\exp(iz) - \exp(-i z)}{z}dz = \frac{I^{+} - I^{-}}{2 i}$$

donde

$$I^{\pm} = \int_{C(\epsilon)} \frac{\exp(\pm iz)}{z}dz$$

Podemos entonces calcular el $I^{\pm}$ al cerrar el contorno de $I^{+}$ en la mitad superior del plano, mientras que el cierre en la mitad inferior de avión para $I^{-}$. El teorema de los residuos, a continuación, los rendimientos que si $C(\epsilon)$ pasa por debajo de la pole en $z = 0$, $I^{+} = 2\pi i$ mientras $I^{-} = 0$, mientras que si $C(\epsilon)$ pasa por encima de la pole en $z = 0$,$I^{+} = 0$$I^{-} = -2\pi i$, por lo tanto siempre tenemos que $I^{+} - I^{-} = 2\pi i$ y encontramos que:

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}dx =\pi$$