4 votos

Hay pruebas que lo demuestran.

El uso de la fuerza bruta, es sencillo para calcular el $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{31} > 3$

Hay una forma más elegante para demostrar esto?

Lo que si quiero encontrar el más pequeño de $n$ tal que $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} > 4$

Hay una manera estándar de resolver para $n$ sin usar la fuerza bruta?

5voto

palehorse Puntos 8268

Su primer inecuaciones puede ser escrito $H_{31}>4$ donde $H_n= 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$

En este papel (Guo, B. N. y el Qi, F., "desigualdades agudas de la función psi y armónica de los números"; teorema 5) esta obligado es probado:

$$ \ln\left(n+\frac12\right)+\gamma \le H_n \le \ln(n + e^{1-\gamma}-1)+\gamma \tag{1}$$

donde $\gamma$ es el de Euler Mascheroni constante ( $\approx 0.577215664901532$). Este bound es mucho mayor que la habitual, como la $\ln(n+1) < H_n < \ln(n+1)+1$ , que sería inútil aquí.

Tenemos

$$H_{31} \ge 4.0272\cdots$$

y

$$H_{30} \le 3.99580\cdots$$

lo cual es suficiente para nuestro propósito.

Esto no es muy elegante, probablemente, pero dudo que usted puede encontrar algo mucho mejor (y para general $n$)

El atado es tan extraordinariamente fuerte que se puede usar para encontrar el punto de corte para los valores mayores (hasta 12 por lo menos), excepto para 6 donde no pueden decidir entre 226 y 227.

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RagingBoson Puntos 78

Reclamo: $$\sum_{i=1}^{3^n}\frac{1}{i} \geq \frac{7}{6}+\frac{2}{3}n$$ siempre que $n\geq2$.

Prueba: Por Inducción Matemática.

Tome $n=3$, en ese instante la $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{27}\geq \frac{7}{6}+2 > 3$.

Espero que esta no es una manera brutal y esto puede ser fácilmente generalizado.

1voto

spot Puntos 126

[Voy a tener tiempo más adelante para ampliar esta respuesta pero he aquí mi pensamiento inicial]

Esta idea proviene de una prueba para demostrar que la serie armónica diverge.

Es decir, que $$\sum\limits_{n=1}^{2^k} \frac{1}{n} \geq 1 + \frac{k}{2}. $$

Así al menos puede poner un límite superior en el número que usted desea superar por redondeo de manera apropiada para el valor de $k$.

1voto

kccu Puntos 2010

El número de $H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ $n$ésimo número armónico. La serie armónica crece muy lentamente. Usted está mirando a $\sum_{k=2}^n \frac{1}{k}=H_n-1$. Así que tu pregunta equivale a "¿cuál es el menor número armónico $>5$?" Por fuerza bruta que he encontrado es $H_{83}$, así que tienes que añadir a $\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{83}$ para obtener algo más grande que $4$.

Si sólo estás interesado en algunos de estos números, hay una lista aquí.

La Digamma función está relacionada con la serie de números: $\psi(n)=H_{n-1}-\gamma$ donde $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante. Si usted tiene una manera de calcular los valores de la función digamma, usted podría aproximadamente encontrar el valor correcto de $n$ y, a continuación, comprobar mediante la fuerza bruta. No estoy seguro de que de una forma más elegante o enfoque exacto.

1voto

341464 Puntos 26

BBP-tipo de fórmulas para $\log(3)$ $\log(7)$ base $3$

$$\log(3)=\frac{1}{9}\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{9}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}\right)\frac{1}{9^{k}}$$

$$\log(7)=\frac{1}{3^5}\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{405}{6k+1}+\frac{81}{6k+2}+\frac{72}{6k+3}+\frac{9}{6k+4}+\frac{5}{6k+5}\right)\frac{1}{3^{6k}}$$

give lower bounds

$$\log(3)>\left(9+\frac{1}{2}\right)\frac{1}{9}+\left(\frac{9}{3}+\frac{1}{4}\right)\frac{1}{81}=\frac{355}{324}$$

y $$\log(7)>\left(405+\frac{81}{2}+\frac{72}{3}+\frac{9}{4}+\frac{5}{5}\right)\frac{1}{3^5}=\frac{1891}{972}$$

From Series and integrals for inequalities and approximations to $\log(n)$ $$\log(2)=\frac{7}{10}-\int_0^1 \frac{x^4(1-x)^2}{1+x^2} dx$$

the upper bound

$$\log(2)<\frac{7}{10}$$

is obtained, and also the convergent approximation

$$\gamma>\frac{15}{26}$$

will be useful.

For your particular case $n=31$, el obligado $$ H_n \ge \log(n+\frac12)+\gamma$$

given by @leonbloy becomes

$$\begin{align} H_{31} &\ge \log(2·31+1)-\log(2)+\gamma\\ &=2\log(3) + \log(7) - \log(2) + \gamma\\ &>2\frac{355}{324}+\frac{1891}{972}-\frac{7}{10}+\frac{15}{26}=\frac{253589}{63180}\\ &=4+\frac{869}{63180} \gt 4 \end{align}$$

which proves $H_{31}>4$.

To compute the smallest $n$ such that $H_n$ exceeds an integer $N$,

$$log\left(n+\frac{1}{2}\right)+\gamma>N$$ $$log\left(n+\frac{1}{2}\right)>N-\gamma$$ $$n+\frac{1}{2}>e^{N-\gamma}$$ $$n>e^{N-\gamma}-\frac{1}{2}$$

so

$$n=\lceil e^{N-\gamma}-\frac{1}{2}\rceil$$

The PARI code

for (N=0,28,print(N," ",ceil(exp(N-Euler)-1/2)))

shows that this formula produces the values published in http://oeis.org/A002387, although this does not imply that it agrees forever. The inequality and the formula derived here guarantees exceeding $N$, not doing so with the lowest $$ n posible, como en el OEIS secuencia.

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