Si $b$ es algebraico sobre una extensión finita $K$ $F$ $[K(b):K]\mid [F(b):F]$

Question

En Un Libro de Álgebra Abstracta por Charles C. Pinter, parte 3 de ejercicio F página 299 es la siguiente: ($a\mid b$$a$ divide $b$)

Deje $F$ ser un campo, y $K$ de un número finito de extensión de $F$. Probar cada uno de los siguientes :

3. Si $b$ es algebraico sobre$K$,$[K(b):K]\mid [F(b):F]$. (Sugerencia: El polinomio mínimo de a $b$ $F$ factor en $K[x]$, e $b$ entonces la raíz de uno de sus factores irreducibles.)

Yo no podía resolver este ejercicio. Si $p(x)$ $q(x)$ son los mínimos polinomios de $b$ más, respectivamente, $F$$K$,$p(b)=0$$p(x)\in K[x]$,$q(x)\mid p(x)$, lo que muestra que $[K(b):K]\le [F(b):F]$. Pero yo no era capaz de mostrar que la divide. He intentado utilizar las diferentes fórmulas como $[K(b):F]=[K(b):F(b)][F(b):F]$, pero yo no era capaz de llegar a la conclusión deseada. También probé con el hecho de que $\{1,b,\dots,b^{n-1}\}$ es una base del espacio vectorial $K(b)$$K$, y ver cómo esto se puede relacionar con $F(b)$$F$; que son linealmente independientes de la familia no necesariamente abarcan $F(b)$$F$. He intentado utilizar el hecho de que $K=F(a_1,\dots,a_m)$ ya que es una extensión finita de $F$, pero no he podido llegar a la conclusión.

¿Me podrías ayudar por favor? Gracias de antemano!

Answer 1

Un contraejemplo de OP de la instrucción ya está dado por @Pierre-Chico Plamondon.

Con normalidad asunción de $K$ $F$

Supongamos $K$ es lo normal en el $F$. Deje $f$ ser un polinomio mínimo de a$b$$F$. A continuación, vamos a probar que $f$ factores en polinomios irreducibles sobre $K$ todos el mismo grado.

Tenga en cuenta que OP señaló que el grado del polinomio mínimo de a $b$ $K$ es el grado de extensión de campo $[K(b):K]$. Deje $b'$ ser cualquier raíz de $f$$\overline{K}$. Deje $\sigma : K(b) \rightarrow \overline{K}$ ser una incrustación de fijación $F$$\sigma(b)=b'$. Pretendemos que $[K(b'):K]=[K(b):K]$.

Para ello, tenga en cuenta que $\sigma:K(b)\rightarrow \overline{K}$ es un inyectiva $F$-lineal de asignación. Desde $K$ es lo normal en el $F$, la restricción $\sigma|_K$ es un automorphism de $K$ fijación $F$. Por lo tanto, $\sigma(K(b))= K(b')$. Esta muestra $K(b)$ $K(b')$ son isomorfos como $F$-espacios vectoriales a través de una $F$-lineal isomorfismo $\sigma$. Esto demuestra que $[K(b):F]=[K(b'):F]$. Por lo tanto, tenemos $$ [K(b):K][K:F]=[K(b):F]=[K(b'):F]=[K(b'):K][K:F]. $$ De ello se desprende que $[K(b):K]=[K(b'):K]$. Por lo tanto, los factores irreducibles del polinomio mínimo de a $b$ $F$ factor en la polinomios irreducibles sobre $K$ todos el mismo grado.

Por lo tanto, tenemos $[K(b):K] | [F(b):F]$.

Answer 2

Esta afirmación parece ser falsa.

Deje $\sqrt[3]{2}$ ser la verdadera raíz cúbica de a $2$, y deje $\zeta$ ser una primitiva raíz cúbica de la unidad, de manera que $\sqrt[3]{2}$, $\zeta \sqrt[3]{2}$ y $\zeta^2 \sqrt[3]{2}$ son las tres raíces de $X^3-2$$\mathbb{Q}$.

A continuación,$[\mathbb{Q}(\zeta\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = 3$, pero $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \zeta\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})]=2.$

Tomando $F=\mathbb{Q}$, $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ y $b=\zeta\sqrt[3]{2}$, parece que estamos ante un contra-ejemplo.