Supongamos que tienes 2 números infinitos, decir $A$$B$.
$A$ es un elemento de la hyperreals, por lo que el $A$ es mayor que cualquier número real.
$B$ es el tamaño del conjunto de números naturales, $\aleph_0$
¿Tiene sentido comparar el $A$$B$? Y si es así, ¿cómo se puede comparar este tipo de números?
En pocas palabras: No. Hyperreal números son "no-conjuntos de objetos", mientras que $\aleph_0$ es esencialmente una noción del tamaño de un conjunto. Mientras hyperreal los números pueden ser representados como conjuntos (pero no sólo, por ejemplo, en ZF+Átomos los átomos pueden ser dada la estructura de la hyperreal números), que se interpretan como algo más, mientras que $\aleph_0$ es mucho más "concretas" como siempre va a ser interpretado como un conjunto de algún tipo.
Hay diferentes nociones de números infinitos. Hay hyperreal números, números ordinales, números cardinales, uno puede ver los números reales como secuencias infinitas de racionales y así infinitamente más preciso que el de los números racionales (como infinitesimals nos dan la capacidad para ser más preciso que el de los números reales).
Estas nociones surgió de algún lugar donde se les necesitaba, y, a veces, estos lugares son algo ortogonal o no relacionados (al menos no directamente).
En este caso, consideramos cardenales vs hyperreal números. Las cardinalidades (bajo el axioma de elección, sin el axioma de elección este es un desastre aún mayor, sin embargo con algo sorprendente resultados - más sobre esto más adelante) son bien ordenado. Esto significa que entre el $\aleph_0$ $\aleph_1$ no hay otros cardenales. Hay ordinales , pero todos ellos son contables como conjuntos.
Supongamos que de alguna manera podría identificar un elemento, se $B$, en el hyperreals, $^*\mathbb R$, a $\aleph_0$. ¿Qué es $B+1$? En cardinalidades $\aleph_0+1=\aleph_0$. En el hyperreals esto es imposible.
Lo que podría decir es que todos los elementos de la forma $B\pm n$ son todavía "números infinitos".
El mismo problema se cumpliría si elegimos el lugar para identificar los números ordinales, ya que $1+\omega=\omega$ (donde $\omega$ es el ordinal de la representación de los números naturales), esta adición no es conmutativa, así no inversible, ya que la resta es aún menos agradable que además cuando se aplica sobre los números ordinales.
Una buena cosa a tener en cuenta: sin el axioma de elección no puede haber números cardinales que no $\aleph$-números (que no puede ser bien ordenado). Es coherente ha $2^{\aleph_0}$ cardenales para que sean ordenados (por el natural orden de cardinalidades) como los números reales. Yo esperaría que es posible que el resultado extendida a la hyperreal números. (Obviamente, no podemos esperar que el cardenal de la adición y la multiplicación para ser cualquier cosa reversible)
Esto significa que se pueden interpretar los números reales como las de los cardenales. Sin embargo, ninguno de ellos es comparable con $\aleph_0$ (es decir, ninguno contienen una contables subconjunto).
(Usted podría estar interesado en mi respuesta aquí: "Homomorphism" a partir de un conjunto de secuencias de los cardenales? que parece como si puede ser algo relevante para esta discusión.)
Estos son muy diferentes nociones, así que la respuesta sospecho que la mayoría de la gente va a dar es "NO" (y me imagino que esta pregunta podría obtener cerrados). Sin embargo, me gustaría señalar que hay un montón de situaciones en las matemáticas, donde aparentemente no relacionados nociones fueron traídas bajo el paraguas de algunos unificador de la idea. Por ejemplo, el casco convexo de un conjunto y la de sigma-álgebra generada por una colección de conjuntos, como se señaló ayer: El $\sigma$-álgebra de subconjuntos de a $X$ generado por un conjunto $\mathcal{A}$ es el más pequeño de sigma álgebra incluyendo $\mathcal{A}$ También, hay un montón de situaciones en las matemáticas, donde notacional de similitud o de otros esencialmente no-matemático semejanza ha llevado a la creación de la unificación de ideas. Por ejemplo, las fracciones de derivados o de la idea de complejo-iteración de una función.
Dicho esto, dudo que cualquier cosa que no sea trivial va a salir de tratar de encontrar un unificador de la idea que subyace a estas dos nociones de "número infinito". La única cosa que se me ocurre es que, en algún tipo de forma relativa con respecto a la base del "universo" de cada noción es incrustada, estamos buscando a la menor extensión fuera de ciertos "pequeñas cantidades".
En realidad, sí. Puedes mirar en este papel: http://www.ohio.edu/people/ehrlich/Unification.pdf
El surrealista números de la clase incluye el número de $\omega$ que se identifica con el infinito ordinal $\omega$ e infinito cardenal $\aleph_0$.
Pero ten en cuenta que las operaciones aritméticas se define en la surrealista cifras difieren de los que generalmente definida para los números ordinales y cardinales. Las operaciones definidas en surreals son equivalentes a los naturales de las operaciones sobre los números ordinales.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
