Dejemos que $\varphi : \mathbb{C}[x] \to \mathbb{C}[y]$ sea un homomorfismo de anillo (que, según los comentarios, supondré que envía $1$ a $1$ el homomorfismo cero no induce un mapa sobre los espectros). El uso de $x$ y $y$ es para que sea más fácil distinguir cuándo se trata de la fuente y cuándo del objetivo.
$\varphi(\mathbb{C})$ debe ser un subcampo de $\mathbb{C}[y]$ y como los polinomios de grado positivo no son invertibles, debe ser un subcampo de $\mathbb{C}$ . Así que $\varphi$ envía escalares a escalares, aunque el mapa resultante $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ puede ser complicado, por ejemplo, puede ser una conjugación compleja, cualquier elemento del grupo de automorfismo muy grande de $\mathbb{C}$ o incluso puede no ser sobreyectiva.
$\varphi$ se determina por su restricción a $\mathbb{C}$ y $\varphi(x) \in \mathbb{C}[y]$ que es un polinomio $g(y)$ . Si $a \in \mathbb{C}$ el ideal máximo $(y - a)$ en $\text{Spec } \mathbb{C}[y]$ es enviado por $\varphi^{\ast}$ (la acción de $\varphi$ sobre los espectros) al núcleo del mapa
$$\mathbb{C}[x] \ni \sum a_i x^i \mapsto \sum f(a_i) g(a)^i \in \mathbb{C}.$$
Supongamos primero que $g(y)$ es constante. Entonces los núcleos de todos estos mapas son iguales, lo que contradice el requisito de que todos los ideales maximales distintos de $(x)$ y $(x - 1)$ son fijos. Así que podemos suponer que $g$ no es constante.
A continuación, supongamos que $f$ no es sobreyectiva. Entonces $\mathbb{C}$ debe ser trascendental sobre $f(\mathbb{C})$ no puede ser algebraico ya que $f(\mathbb{C})$ es algebraicamente cerrado. Por lo tanto, hay alguna $a$ tal que $g(a)$ toma un valor trascendental sobre $f(\mathbb{C})$ para este valor de $a$ el núcleo del mapa anterior es $(0)$ lo que de nuevo contradice el requisito de que todos los ideales maximales que no sean $(x)$ y $(x - 1)$ son fijos. Así que podemos suponer que $f$ es suryente, por lo que es un automorfismo de $\mathbb{C}$ .
Ahora podemos describir el efecto de $\varphi^{\ast}$ de la siguiente manera: $g(a)$ tiene un polinomio mínimo $(x - g(a))$ en $\mathbb{C}$ por lo que el núcleo del mapa anterior es $(x - f^{-1}(g(a))$ . En otras palabras, $\varphi^{\ast}$ induce el mapa
$$\mathbb{C} \ni a \mapsto f^{-1}(g(a)) \in \mathbb{C}$$
en los espectros máximos. Por hipótesis, queremos que este mapa fije cada $a \neq 0, 1$ por lo que queremos
$$\forall a \neq 0, 1 : f(a) = g(a).$$
Así que $g(a)$ , un polinomio, debe coincidir con un automorfismo de $\mathbb{C}$ para todas las entradas que no sean $0, 1$ por lo que debe satisfacer las identidades $g(x + y) = g(x) + g(y)$ y $g(xy) = g(x) g(y)$ siempre y cuando $x, y, x + y, xy \neq 0, 1$ . Todas estas son identidades polinómicas en dos variables, por lo que si se satisfacen en un subconjunto denso de Zariski de $\mathbb{C}^2$ entonces siempre están satisfechos. La conclusión es que $g(a)$ debe ser también un automorfismo de $\mathbb{C}$ y por lo tanto (por ejemplo, por linealidad) debe coincidir con $f$ en todas partes, así que
$$\forall a : f(a) = g(a).$$
Pero los únicos polinomios que son lineales son los polinomios $g(x) = px$ y entre ellas la única que preserva la multiplicación es la identidad $g(x) = x$ . Así que $f(x) = x$ también, y concluimos:
El único homomorfismo de anillo $\varphi : \mathbb{C}[x] \to \mathbb{C}[x]$ induciendo un mapa sobre los espectros máximos que envían $a$ a $a$ para $a \neq 0, 1$ es la identidad.
Esto habría sido mucho menos trabajo si hubieras permitido $\mathbb{C}$ -que permite el siguiente argumento más geométrico: se quiere un mapa sobre los espectros que coincida con la identidad en un subconjunto denso de Zariski del espectro, y por tanto debe coincidir con la identidad en todas partes. Esto corresponde a tener $f(x) = x$ desde el principio en el argumento anterior.
