¿Por qué$a\times b=b\times a$$a,b \in \mathbb{N}$?

Question

¿Por qué$a\times b=b\times a$$a,b \in \mathbb{N}$ ?

Yo siempre tengo dicho que es el caso, y parece ser, pero hay una prueba para ella. Si empezamos con $a,b \in \mathbb{N}$ entonces yo podría intentar averiguar $\mathbb{Z}$$\mathbb{Q}$$\mathbb{R}$$\mathbb{C}$.

Que yo sepa)$a\times b = \underbrace{b+b+ \ldots +b}_{a\text{ times}}$ .

Pero, ¿por qué tendría que necesariamente igual a $\underbrace{a+a+ \ldots +a}_{b\text{ times}}$ .

Sé que la manera de explicar a 12 años de edad los niños es con relación a las áreas. Pero no estoy muy satisfecho con esa explicación.

aquí $a$ $b$ son intercambiables porque siempre se puede girar la imagen por $90°$ manteniendo la misma área.

Esto es algo que mis amigos y yo hemos tenido grandes discusiones. Primero traté de averiguarlo yo mismo, pero no llegué lejos de todos. Yo también he traído a mis profesores y a un amigo haciendo un BMath, pero todo lo que dijo es que se trata de un interesante y extraña pregunta. Yo no estoy en la universidad todavía, así que lo siento si esto es una 'mala', pregunta.

Answer 1

Es una cuestión de axiomas y definiciones, y en lo que usted piensa que las matemáticas, la multiplicación, y los números naturales son.

Si vemos los números naturales como discretas cantidades, a continuación, contar, sumar y multiplicar ellos son formas de agrupación. Nuestra primera y más hipótesis básica es que las cantidades son y no voy a cambiar no importa la forma en que el grupo de ellos.

(He aquí una breve desviación: ¿por Qué $3+4$ siempre igual a $7$? ¿Por qué no a veces igual $7$ y a veces igual $8$ y para el caso, ¿por qué $7$ siempre igual a $7$? ¿Por qué no podemos dar la espalda y de repente ver se ha convertido en $5$ o $8$? Estos son posibles estúpido y sin sentido de las preguntas. O tal vez son profundas. Ellos en realidad no pueden ser respondidas, excepto para decir: "Porque no pueden". En algún nivel, nos dicen que "es fundamental y axiomático presunción de que las cantidades son constantes.")

Así como nos gustaría enseñar a los niños a $a \times b$ es el número uno tiene cuando uno ha $a$ grupos de $b$ artículos. (Piensa: $7$ naranjas en $3$ papel de las páginas es $21$ naranjas.) Si nos manipulan y reagruparse, así que tomamos un artículo de cada una de las $a$ grupos, y el grupo de ellos en un grupo nuevo de $a$ objetos y hacer que para cada una de las $b$ artículos, vamos a terminar de con $b$ grupos de $a$ elementos o $b \times a$. Ahora nosotros no cambiar cualquier totales. Sólo hemos reagrupado ellos. (Piensa: Tomar una naranja de cada una de las tres bolsas de papel y ponerlos en una bolsa de plástico. $3$ naranjas en una bolsa de plástico. Repita hasta que haya hecho lo $7$ tiempos para cada una de las siete naranjas en cada bolsa. Ahora tiene $3$ naranjas en $7$ bolsas de plástico... y siete vacío bolsas de papel).

Por el camino. ¿Por qué no la de girar el rectángulo $90^\circ$ convencerte? Es claramente el mismo rectángulo con las mismas baldosas, pero las filas y las columnas están cambiados.

De todos modos. Pero que es un entendimiento básico y con cualquier simple presunción de que nos están contando las cosas como las naranjas, o piedras, o las baldosas.

Ser matemáticos, nunca estamos satisfechos con estas cosas y siempre están preguntando "Pero, ¿qué es realmente?" Y "¿qué justificaciones tienen que asumimos la realidad es coherente?". Y "a quién le importa acerca de la realidad de todos modos? La realidad es sólo un ... física .... ugh ... aplicación de la teoría, y sin duda de saber si la teoría es verdadera es mucho más importante y la forma en que los ugh mundo "real" sólo casualmente se comporta."

Es que caso tenemos axiomas, definiciones y construcciones.

Un enfoque: el número, la adición y la multiplicación son sólo conceptos abstractos y que $a+b =b+a$ $a\times c = c\times a$ y el resultado de $a + b$ y, a continuación, $c$ es el mismo que el resultado de $a$ y, a continuación, la adición de $b+c$ (o $(a+b) +c = a+(b+c)$) y $a\times(b\times c) = (a\times b)\times c$ $a(b+c) = (a\times b) + (a\times c)$ se da simplemente como axiomas. Si vamos más allá, dado que el $0 + x = x$ $1\times x = x$ y que la cadena de: $0; 0+1=1; 1+1=2; 2+1=3; 3+1 = 4$.... nunca se repita tenemos los números naturales. (Google: Campo Axiomas y Ordenado de Campo Axiomas.)

Otro (google Axiomas de Peano) enfoque sistemático definir a los "números" y "contar" considerando "sucesores" ("0", simplemente existe y nada es sucedido por el "0". 1 es el sucesor de $0$. Todos los números tienen una y sólo una sucesor) y algunos axiomas. A partir de una larga lista de axiomas y de una larga sucesión de definiciones (como $a + b$ significa aplicar el sucesor de operación de la $a$, $b$ los tiempos, etc.) hay una fundamental (y tedioso) la prueba de que $a + b = b+ a$$a \times b = b\times a$.

Francamente, estoy feliz con las naranjas en bolsas de explicación. O el campo de axioma. Y me alegro de que alguien ha hecho los axiomas de Peano y que están disponibles para mí leer, pero estoy agradecido de que yo no tenía que averiguar.

Answer 2

Es una buena pregunta. Usted debe mantener en mente que, con el fin de demostrar con rigor algo acerca de la multiplicación, hay dos cosas que se deben hacer:

1. La multiplicación debe ser rigurosamente definidas.
2. Debe haber un conjunto de axiomas (acerca de los números naturales), para empezar.

A continuación, esperamos ser capaces de deducir, a partir de estos axiomas que la multiplicación es conmutativa.

El más ampliamente utilizado conjunto de axiomas de los números naturales son los axiomas de Peano. Dentro de este sistema, puede definir la multiplicación (suponiendo que la suma de dos números naturales ya ha sido definido como la única operación que:

1. Si $n\in\mathbb{N}$,$n\times1=n$;
2. Si $n,m\in\mathbb{N}$,$n\times(m+1)=n\times m+n$.

El uso de este, de hecho, puede usted demostrar que la multiplicación es conmutativa. Voy a hacerlo suponiendo que la suma es conmutativa (este debe ser probado también, por supuesto).

Proposición 1: Si $n\in\mathbb N$,$1\times n=n$.

Prueba: Para $n=1$, esto simplemente afirma que $1\times1=1$, lo cual es cierto, por la definición de la multiplicación.

Deje $n\in\mathbb N$ y asumir que $1\times n=n$. A continuación,\begin{align}1\times(n+1)&=1\times n+1\\&=n+1.\end{align}

Proposición 2: Si $m,n\in\mathbb N$,$(m+1)\times n=m\times n+n$.

Prueba: Vamos A $m\in\mathbb N$. Si $n=1$, esto simplemente afirma que $m+1=m+1$, que es trivialmente cierto. Ahora, vamos a $n\in\mathbb N$ y asumir que $(m+1)\times n=m\times n+n$. A continuación,\begin{align}(m+1)\times(n+1)&=(m+1)\times n+m+1\\&=m\times n+n+m+1\\&=m\times n+m+n+1\text{ (addition is commutative)}\\&=m\times(n+1)+n+1\end{align}

Proposición 3: En $\mathbb N$, la multiplicación es conmutativa. En otras palabras, si $m,n\in\mathbb N$, $m\times n=n\times m$.

Prueba: Si $m\in\mathbb N$, $m\times1$ $1\times m$ son igual a $m$ (debido a la definición de la multiplicación y de la proposición 1).

Ahora, vamos a $n\in\mathbb N$ y supongamos que $m\times n=n\times m$. A continuación,\begin{align}m\times(n+1)&=m\times n+m\\&=n\times m+m\\&=(n+1)\times m,\end{align}por la proposición 2.

Answer 3

El nivel de prueba requerido depende del contexto. La explicación con una cuadrícula era lo suficientemente bueno para Dirichlet de 1863 Zahlentheorie. Aquí la página de $1$.

El texto comienza (la traducción aproximada de - mi alemán es antigua):

En este capítulo se tratan algunos hechos acerca de la aritmética que (ser seguro) puede ser encontrado en la mayoría de los libros de texto, pero para nuestro trabajo son tan fundamentales que tenemos para proporcionar una base sólida. En primer lugar, la teorema de que el producto de una lista de números enteros positivos es independiente del orden en que se realizan las multiplicaciones.

Él, a continuación, se describe la matriz, con $a$ copias de $c$ en cada uno de $b$ filas.

En la página $2$ él utiliza esa imagen para demostrar/explicar la asociatividad y conmutatividad de la multiplicación.

Answer 4

Usted puede aplicar la inducción matemática para demostrar que para cualesquiera dos números naturales $m$ y $n$, $$ mn=nm $$

Fix $m$ y definen $$ P(n) : mn=nm $$

$P(1)$ es cierto porque las $m\times 1= 1\times m$

Si $P(k)$ es cierto que tenemos que mostrar que $P(k+1)$ también es cierto.

Que es asumimos $mk=km$ e intentar demostrar $m(k+1)=(k+1)m$

Tenga en cuenta que $$m(k+1)=mk+m = km+m =(k+1)m$$

Que es $P(k+1)$ es cierto.