Este año estoy impartiendo un curso elemental de álgebra lineal para estudiantes de física. Por eso he estado investigando las diferentes formas de presentar la definición del determinante (uno de los temas más difíciles para un curso de este tipo, en mi opinión).
En las notas de clase de Terry Loring se da una definición que utiliza operaciones elementales de fila
http://www.math.unm.edu/~loring/links/linear_s06/det_def.pdf
Me gusta esta definición ya que me parece muy algorítmica, y utiliza una idea que es familiar para los estudiantes. Compárela con las otras definiciones más populares que son
- La fórmula explícita que utiliza el signo de las permutaciones
- La fórmula recursiva que utiliza el desarrollo de Laplace
- La axiomática como la única forma alternativa multilineal por filas (o por columnas) que toma el valor 1 en la matriz identidad.
Por supuesto, esta definición por eliminación de filas parece muy cercana a esta última definición axiomática.
Sin embargo mi pregunta es, ¿sabéis si hay alguna forma de derivar el toda la teoría de los determinantes a partir de la definición basada en la eliminación de filas? De hecho, parece incluso difícil demostrar directamente que la definición es correcta (no ambigua).
¿Conoce algún libro que utilice este enfoque?
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No conozco ningún libro pero Gilbert Strang utiliza este método en su conferencia en el MIT OpenCourseWare. Es la presentación más intuitiva que he visto del material. ocw.mit.edu/cursos/matemáticas/
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Si se denota por $E_i(c)$ multiplicando el $i$ -en la fila de $c\ne0$ , $E_{ij}(d)$ sumando a la $i$ -en la fila de la $j$ -ésima fila multiplicada por $d$ (con $i\ne j$ ) y $E_{ij}$ intercambiando el $i$ -a y $j$ -filas, entonces el determinante de $n\times n$ es la única función $\delta$ tal que $\delta(E_i(c)A)=c\delta(A)$ , $\delta(E_{ij}(d)A)=\delta(A)$ , $\delta(E_{ij}A)=-\delta(A)$ y $\delta(I_n)=1$ . Utilizando operaciones elementales de fila es fácil demostrar que $\delta$ desaparece en matrices no invertibles. Un poco más complicado es demostrar la expansión de Laplace que proporciona la existencia de $\delta$ .
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@egreg Pero ¿cómo demuestras que hay existe una función que satisfaga esas condiciones?
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@DavidC.Ullrich Con la expansión de Laplace, con la inducción. Sólo en los apuntes para los alumnos interesados, no en clase. Realmente no es gran cosa, sólo cálculos.
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@egreg Bien. Tenía la impresión de que decías que podíamos tomar esas propiedades por sí mismo como el definición - Supongo que no es eso lo que querías decir.
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@DavidC.Ullrich Utilizo la "invariancia bajo operaciones de fila elementales" como definición en lugar de la multilinealidad, que es más difícil de explicar y justificar. La eliminación gaussiana juega un papel destacado en el curso.
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Esto no es una buena idea, ya que el campo de la tierra está codificado en ella (la teoría K algebraica tiene mucho que decir sobre cuándo las matrices elementales generan todas las matrices, pero la respuesta rápida es "menos a menudo de lo que uno querría"). Muchas propiedades básicas, como la multilinealidad, la polinomialidad e incluso la continuidad, serían difíciles de cumplir con esta definición.
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El PDF de Loring tiene esta gran laguna que señala en el primer párrafo de la página 2. Ni siquiera sé cómo arreglarlo sin pasar por una definición diferente.
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P: curso elemental de álgebra lineal para estudiantes de física. R: teoría K algebraica. Me encanta este sitio.