Si $\lim\limits_{x \to \infty} f(f(x))= \infty$, $\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=\pm \infty$

Question

Deje $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(f(x))= \infty$ $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(f(x))= -\infty$ $f$ tiene el valor intermedio de la propiedad (no necesariamente continua).
Demostrar que $\displaystyle\lim_{x \to \infty}f(x)$ $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x)$ existen y son infinitos.

Me las arreglé para demostrar que esos dos límites existen. Pero tengo un momento muy difícil demostrar que ellos son infinitos. Supongo que $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)=a \in \mathbb{R}$ y trató de obtener una contradicción a partir de aquí, pero desde $f$ no es continua, de alguna forma debo utilizar el valor intermedio de la propiedad y. Por lo que veo, para todos los $\epsilon>0$, $\delta>0$ tal que cuando $x>\delta$, $f(x)$ es llegar delimitada en $(a-\epsilon, a+\epsilon)$$(f\circ f)((\delta,\infty))\subset f((a-\epsilon,a+\epsilon))$, pero no pude continuar.

Answer 1

El límite debe existir o ser infinito.

Suponga que $\liminf_{x\to+\infty}f(x)=a$ $\limsup_{x\to+\infty}f(x)=b$ donde $a,b\in[-\infty,+\infty]$.

Por el valor intermedio de la propiedad se deduce que todos los valores en $(a,b)$ límite de puntos de $f$$x\to+\infty$. Por lo tanto, $f$ debe ser ilimitado de arriba en cada vecindario alrededor de cada punto en $(a,b)$, y también todos los valores en $(a,b)$ alcanzado en cada barrio de $+\infty$.

Suponga que en $[a,b]$ hay infinitamente muchos puntos tales que $|f(x)|<n$. A continuación, elija una secuencia convergente entre ellos $x_k$. A continuación, podemos elegir el $y_k\to+\infty$ tales $f(y_k)=x_k$. De ello se desprende que $f(f(y_k))$ no tiende a infinito. Esta es una contradicción.

Por lo tanto, para todos los $n$ el número de puntos en $[a,b]$ tal que $|f(x)|<n$ debe ser finito. Pero, a continuación, $[a,b]$ es una contables de la unión de conjuntos finitos. Pero $[a,b]$ es incontable si $a\neq b$, mientras que un contable de la unión finita de conjuntos es contable. Por lo tanto,$a=b$.

El límite debe ser infinito.

Supongamos ahora que $a$ es finito. Entonces, por el valor intermedio de la propiedad, $f$ toma todos los valores entre a $f(a)$ $+\infty$ en cualquier barrio de $a$. Ser organizado, elige un lado de la $a$, $>a$ o $<a$ tal que $f([n,+\infty))$ se cruzan ese lado de todos los $n$. Sin pérdida de generalidad supongamos que es $>a$. El primer reclamo de este párrafo pueden ser hechas para estos unilateral barrios. Deje $x_k$ ser una secuencia de puntos de $x_k\to a$ tal que $f(x_k)\to f(a)$$x_k>a$.

Por lo tanto, el valor intermedio de la propiedad, podemos tomar $y_k\to\infty$ tal que $f(y_k)=x_k$. Esto es una contradicción, porque $f(f(x_k))\to f(a)\neq +\infty$. Por lo tanto, $a$ es infinito.

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Buen ejercicio. Voy a echar a mis estudiantes de postgrado.