Si S+K es compacto en el plano complejo , son K y S compacto?

Question

Deje $K$ $S$ dos subsests del plano complejo tal que $K+S$ es compacto. Se $K$ $S$ compact?

Donde $$ K+S=\{k+s: k\in K,~s\in S\}$$

Answer 1

No, esto es falso ya que los números reales $\mathbf{R}$. Tomemos por ejemplo la $K=[0,1]$ a ser el intervalo cerrado y $S$ para el conjunto de los números racionales en $K$. Entonces $$K+S=[0,2]$$ is compact, but $S$ no es compacto.