Diferentes formas de demostrar que dos conjuntos son iguales

Question

No estoy seguro de si esto es una pregunta suave, o debería ser wiki de la comunidad.

Estaba explicando a un alumno cómo demostrar que dos conjuntos eran iguales utilizando lo que yo llamaba el "truco más antiguo del libro": demostrar que $A = B$ , demuestre que $A \subseteq B$ y $B \subseteq A$ . Esto me hizo pensar: ¿qué son las otras formas de demostrar que dos conjuntos son iguales. Está, por supuesto, el método de la biyección (establecer una correspondencia de 1-1 sobre), pero no se me ocurren otros.

¿Existen técnicas más generales para demostrar que dos conjuntos son iguales?

Answer 1

Para demostrar que un conjunto $A$ es igual a $\mathbb{N}$ utilizar el sorprendente método de inducción matemática .

Answer 2

Con un espíritu similar al de la respuesta denso+cerrado, hay algunas pruebas en las que para demostrar que un subconjunto de un espacio conexo es el espacio entero, se demuestra que es no vacío, abierto y cerrado. Un ejemplo de esto es la prueba de que un subconjunto abierto conectado de $\mathbb{R}^n$ está conectado por un camino (el conjunto de puntos que puedes encontrar desde x es abierto y no vacío y su complemento es abierto). Otra es la demostración del teorema de la identidad en el análisis complejo (el conjunto en el que tus dos funciones analíticas tienen la misma expansión de Taylor localmente y, por tanto, coinciden localmente es obviamente abierto, y también es cerrado porque el conjunto de puntos en los que coinciden las enésimas derivadas es obviamente cerrado, y el conjunto en el que tienen la misma expansión de Taylor es, por tanto, una intersección de conjuntos cerrados).

Answer 3

Esta es una respuesta extremadamente general, pero a menudo es más fácil demostrar que existe algún otro conjunto (o conjunto estructurado) $C$ tal que $A = C$ y $B = C$ . Por ejemplo, una forma de demostrar que dos espacios vectoriales son iguales es exponer una base común de ambos.

Answer 4

En la combinatoria biyectiva existe otro método. Digamos que tanto $A$ y $B$ son subconjuntos de un gran conjunto $X$ que se divide en una parte "positiva" y otra "negativa": $X = X_+ \sqcup X_-$ , de tal manera que $A,B \subset X_+$ . Supongamos que $\alpha, \beta$ son dos involuciones de signo en $X$ es decir, tal que $\alpha(X_-) \subset X_+$ y $\beta(X_-) \subset X_+$ . Supongamos además que $A$ es el conjunto de puntos fijos de $\alpha$ y $B$ es el conjunto de puntos fijos de $\beta$ . Entonces, obviamente, $|A| = |X_+|-|X_-| = |B|$ . Además, la acción del grupo diedro infinito $\ D_\infty = \langle \alpha,\beta\rangle \ $ en $X$ da una biyección entre $A$ y $B$ (toma $a \to b$ si se encuentran en la misma órbita).

Esta idea se conoce como el "principio de involución de Garsia-Milne" y puede utilizarse para construir biyecciones que demuestren varias identidades de partición (véase aquí ). Otros lugares donde aparece una versión de este principio son este La famosa demostración de Zagier del teorema de Fermat sobre las sumas de dos cuadrados, y la famosa "División por tres" de Doyle & Conway papel (lea primero la sección "división por 2" para entender la conexión).

Answer 5

¿Has probado a poner la "M" en mayúsculas en "XMax"? Creo que se supone que es:

print desc.extent.XMax

en lugar de

print desc.extent.Xmax

según el documentación . Por supuesto, eso hace que me pregunte cómo funcionó tu primer fragmento de código. En cualquier caso, ¡inténtalo!